龙源期刊?/p>
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跳跃
?/p>
扩散模型资产定价公式的数值计算方
?/p>
作者:张鸿?/p>
,
?/p>
?/p>
,
?/p>
?/p>
来源:《经济数学?/p>
2010
年第
02
?/p>
?/p>
?/p>
假定资产价格变化过程服从跳跃扩散过程
,
那么基于它的欧式期权就满足一个偏积分
微分方程
(PIDE),
本文利用差分法来离散这个
PIDE
方程
,
用两种迭代方法得到方程的数值解
:
?/p>
于雅可比正则分裂法和预条件共轭梯度法
.
关键?/p>
跳跃扩散模型
;
差分?/p>
;FFT
算法
;
欧式看涨期权
中图分类?/p>
O241.82
文献标识?/p>
:A
?/p>
言
美国芝加哥大学教?/p>
Black
?/p>
Scholes
[1]
?/p>
1973
年发表了
“The Pricing of Options and
Corporate Liabilities?/p>
一?/p>
,
提出了著名的
期权定价公式
,
?
公式?/p>
,
假设股票
的价格过程是连续的几何布朗运?/p>
,
但是
,
在现实市场中
,
一些突发情况会引起股票价格发生跳跃
.
基于上述考虑
,Merton
?/p>
1976
年首先提出了跳跃扩散模型
,
?/p>
Merton
模型?/p>
,
资产价格在没有受
到外界重大影响时服从布朗运动
,
当资产价格受到突发事件的影响而发生跳跃时
,
就用跳跃过程
来描?/p>
.
本文首先介绍
PIDE
[2]
的具体形?/p>
,
?/p>
Merton
模型下对其差分离?/p>
,
得到一?/p>
Toeplitz
矩阵?/p>
?/p>
,
用两种方法解这个矩阵方程
,
一是基于雅可比正则分裂的迭代方?/p>
[3-4]
,
二是预条件共轭梯度方
?/p>
.
考虑?/p>
Toeplitz
[5]
矩阵的特殊?/p>
,
在迭代的过程?/p>
,
将其植入到一个循环矩阵中
,
利用循环矩阵
和向量的乘积来计?/p>
Toeplitz
和向量的乘积
,
而循环矩阵向量乘积可以通过快速富里叶变换
(FFT)
快速计?/p>
,
这样就加快了迭代速度
.
共轭梯度法是解决
Toeplitz
线性方程组的主要方法之一
,
在利
用共轭梯度法的情况下
,
快速傅里叶变换的作用是加快共轭梯度法的迭代速度
,
但不改变其收?/p>
速度
,
共轭梯度法的收敛速度取决于线性方程组系数矩阵的条件数
,
基于此考虑
,
本文采用预条?/p>
共轭梯度算法
,
选用
R.Chan
优化循环预条件器
[6]
,
预条件器的使用是为了改善系数矩阵的条件数
,
以便提高收敛速度
.
2
跳跃扩散模型
假设市场是完备无套利的市?/p>
,
在跳跃扩散模型下
,
资产的价格变化过程服从随机微分方
?
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