1
.如图,在平面直角坐标系中,抛物?/p>
y=ax
2
+
bx
+
c
?/p>
a
?/p>
0
)的顶点?/p>
B
?/p>
2
?/p>
1
?/p>
?/p>
且过?/p>
A
?/p>
0
?/p>
2
?/p>
,直?/p>
y=x
与抛物线交于?/p>
D
?/p>
E
(点
E
在对称轴的右侧)
,抛物线
的对称轴交直?/p>
y=x
于点
C
,交
x
轴于?/p>
G
?/p>
EF
?/p>
x
轴,垂足?/p>
F
,点
P
在抛物线上,
且位于对称轴的右侧,
PQ
?/p>
x
轴,垂足为点
Q
,△
PCQ
为等边三角形
?/p>
1
)求该抛物线的解析式?/p>
?/p>
2
)求?/p>
P
的坐标;
?/p>
3
)求证:
CE=EF
?/p>
?/p>
4
)连?/p>
PE
,在
x
轴上?/p>
Q
的右侧是否存在一?/p>
M
,使?/p>
CQM
与△
CPE
全等?若
存在,试求出?/p>
M
的坐标;若不存在,请说明理由?/p>
[
注:
3
+
2
=
?
+
1
?/p>
2
]
?/p>
【分析?/p>
?/p>
1
)根据抛物线的顶点是?/p>
2
?/p>
1
?/p>
,因而设抛物线的表达式为
y=a
?/p>
x
?/p>
2
?
2
+
1
,把
A
的坐标代入即可求得函数的解析式;
?/p>
2
)根据△
PCQ
为等边三角形,则?/p>
CGQ
中,?/p>
CQD=30°
?/p>
CG
的长度可以求得,
利用直角三角形的性质?/p>
即可求得
CQ
?/p>
即等边△
CQP
的边长,
?/p>
P
的纵坐标代入?/p>
次函数的解析式,即可求得
P
的坐标;
?/p>
3
)解方程组即可求?/p>
E
的坐标,?/p>
EF
的长等于
E
的纵坐标?/p>
OE
的长度,利用?/p>
股定理可以求得,同理?/p>
OC
的长度可以求得,?/p>
CE
的长度即可求解;
?/p>
4
?/p>
可以利用反证法,
假设
x
轴上存在一点,
使△
CQM
≌△
CPE
?/p>
可以证得
EM=EF
?/p>
?/p>
M
?/p>
F
重合?/p>
与点
E
为直?/p>
y=x
上的点,
?/p>
CEF=45°
即点
M
与点
F
不重合相矛盾?/p>
?/p>
M
不存在.
【解答?/p>
解:
?/p>
1
)设抛物线的表达式为
y=a
?/p>
x
?/p>
2
?/p>
2
+
1
,将?/p>
A
?/p>
0
?/p>
2
)代入,?/p>
a
?/p>
0
?/p>
2
?/p>
2
+
1=2
?/p>


