线面角与二面角的向量解法
广州市第
65
中学
朱星?/p>
510450
几何中的距离和角是初等几何学的核心问题,是新旧教材的教学重点,也是高考常考点。近几年来,各种数学杂志发表
了不少用向量解几何题的文章,笔者觉得有些方法在实际解题中,操作起来并不方便,在教学中效果不佳。如线面角论
及得较少;而用法向量求二面角的平面角时,两法向量的夹角与二面角的平面角是相等或互补,但不易确定取哪种关系?/p>
本文就这两个问题的解答方法作一介绍?/p>
但愿对同行的教学有所裨益?/p>
先推导一个线面角公式。设
PQ
是平?/p>
a
的一条斜线段?/p>
P
?/p>
Q
?/p>
不为斜足,线?/p>
PQ
所在直线与平面
?/p>
交于?/p>
Q
?/p>
,直?/p>
PQ
与平
?/p>
?/p>
所成的角为
q
?/p>
见图
1
?/p>
P
?/p>
为直?/p>
PQ
上的一点,
?/p>
P
?/p>
Q
a
^
?/p>
H
,连
H
Q
?/p>
,则
P
Q
H
q
?/p>
?
。设平面
a
的法向量?/p>
n
r
,则有:
90
HP
Q
q
?/p>
+
?
o
?/p>
,
HP
Q
n
PQ
?
?
uuu
r
r
?/p>
,
n
PQ
p
-
uuu
r
r
?/p>
sin
cos
cos
,
HP
Q
n
PQ
q
?/p>
=
?
=
uuu
r
r
PQ
n
PQ
n
×
uuu
r
r
g
uuu
r
r
,从?/p>
arcsin
(1)
PQ
n
PQ
n
q
=
×
uuu
r
r
g
L
uuu
r
r
?/p>
注:?/p>
Q
点为斜足或点
P
?/p>
Q
在平?/p>
?/p>
的异侧时本公式也适用?/p>
我们改编一?/p>
91
年全国的高考题例说公式?/p>
1
)的应用?/p>
?/p>
1
:已知正方形
ABCD
的边长为
4,
PA
?/p>
平面
ABCD
?/p>
PA
=2,
E
?/p>
F
分别?/p>
BC
?/p>
CD
的中点。求直线
EB
?/p>
FB
分别与平?/p>
PEF
所成的角(见图
2
?/p>
?/p>
解:?/p>
A
为原点,
AD
所在的直线?/p>
x
轴,
AB
所在的直线?/p>
y
轴,
AP
所在的
直线?/p>
z
轴,建立空间右手直角坐标系。则?/p>
B
?/p>
0
?/p>
4
?/p>
0
?/p>
?/p>
C
?/p>
4
?/p>
4
?/p>
0
?/p>
?/p>
D
?/p>
4
?/p>
0
?/p>
0
?/p>
?/p>
P
?/p>
0
?/p>
0
?/p>
2
?/p>
。用中点坐标公式
可得
E
?/p>
2
?/p>
4
?/p>
0
?/p>
?/p>
F
?/p>
4
?/p>
2
?/p>
0
?/p>
?/p>
(
2
,
2
,
0
)
,
(
2
,
4
,
2
)
E
F
E
P
=
-
=
-
-
u
u
u
r
u
u
u
r
?/p>
(
2,
0,
0)
EB
=
-
u
u
u
r
?/p>
(
4,2,
0)
FB
=
-
u
u
u
r
。设平面
PEF
的法向量?/p>
(
)
,
,
n
x
y
z
=
r
,则?/p>
0,
0
n
EF
n
EP
=
=
u
u
u
r
u
u
u
r
r
r
g
g
,由此得?/p>
2
2
0,
2
4
2
0
x
y
x
y
z
-
=
-
-
+
=
,可解出?/p>
,
3
y
x
z
x
=
=
,取
1
x
=
?/p>
(
)
1
,1
,
3
n
=
r
?/p>
记直?/p>
BE
?/p>
BF
与平?/p>
PEF
所成的角分别为
1
?/p>
?/p>
2
?/p>
,则由公式(
1
)得
1
2
11
sin
11
11
2
n
EB
n
EB
q
-
=
=
=
uuu
r
r
g
uuu
r
r
g
?/p>
1
11
arcsin
11
q
=
?/p>
2
2
4
2
55
55
sin
,
arcsin
55
55
20
11
n
FB
n
FB
q
q
-
+
=
=
=
=
uu
u
r
r
g
uu
u
r
r
g
?/p>
处理线面角问题用公式?/p>
1
?/p>
,可回避找斜线在平面内的射影之苦,从而提高学生的学习效率,真正为学生减负?/p>
(
)
A
O
B
D
?/p>
2
P
?
Q
?
?
?/p>
1