1
第十一?/p>
解析几何范围最值问?/p>
解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系,根据目标函数和不等式求最值?/p>
范围,因此这类问题的难点,就是如何建立目标函数和不等关系.建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合?/p>
变量,其原则是这个变量能够表达要解决的问题,这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等,要根据
问题的实际情况灵活处?/p>
.
一、几何法求最?/p>
【例
1
?/p>
抛物线的顶点
O
在坐标原点,焦点?/p>
y
轴负半轴上,过点
M
(0
,-
2)
作直?/p>
l
与抛物线相交?/p>
A
?/p>
B
两点,且满足+=
(
?/p>
4
,-
12)
?/p>
(1)
求直?/p>
l
和抛物线的方程;
(2)
当抛物线上一动点
P
从点
A
运动到点
B
时,求△
ABP
面积的最大值.
[
满分解答
]
(1)
根据题意可设直线
l
的方程为
y
?/p>
kx
?/p>
2
,抛物线方程?/p>
x
2
=-
2
py
(
p
?/p>
0)
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
y
?/p>
kx
?/p>
2
?/p>
x
2
=-
2
py
?
?/p>
x
2
?/p>
2
pkx
?/p>
4
p
?/p>
0
设点
A
(
x
1
?/p>
y
1
)
?/p>
B
(
x
2
?/p>
y
2
)
,则
x
1
?/p>
x
2
=-
2
pk
?/p>
y
1
?/p>
y
2
?/p>
k
(
x
1
?/p>
x
2
)
?/p>
4
=-
2
pk
2
?/p>
4.
所以+?/p>
(
?/p>
4
,-
12)
,所?/p>
?/p>
?/p>
?
?
?/p>
?/p>
2
pk
=-
4
?/p>
?/p>
2
pk
2
?/p>
4
=-
12
?
解得
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
p
?/p>
1
?/p>
k
?/p>
2.
故直?/p>
l
的方程为
y
?/p>
2
x
?/p>
2
,抛物线方程?/p>
x
2
=-
2
y
.
(2)
?/p>
P
(
x
0
?/p>
y
0
)
,依题意,知当抛物线过点
P
的切线与
l
平行时,?/p>
ABP
的面积最大.
?/p>
y
=-
1
2
x
2
求导,得
y
′=?/p>
x
,所以-
x
0
?/p>
2
,即
x
0
=-
2
?/p>
y
0
=-
1
2
x
2
0
=-
2
,即
P
(
?/p>
2
,-
2)
?/p>
此时?/p>
P
到直?/p>
l
的距?/p>
d
?
|2
·
?/p>
?/p>
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
?/p>
?/p>
2|
2
2
?/p>
?/p>
?/p>
1
?/p>
2
?/p>
4
5
?/p>
4
5
5
.
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
y
?/p>
2
x
?/p>
2
?
x
2
=-
2
y
?/p>
?/p>
x
2
?/p>
4
x
?/p>
4
?/p>
0
,则
x
1
?/p>
x
2
=-
4
?/p>
x
1
x
2
=-
4
?/p>
|
AB
|
?/p>
1
?/p>
k
2
·
?/p>
x
1
?/p>
x
2
?/p>
2
?/p>
4
x
1
x
2
?/p>
1
?/p>
2
2
·
?/p>
?/p>
4
?/p>
2
?/p>
4
·
?/p>
?/p>
4
?/p>
?/p>
4
10.
于是,△
ABP
面积的最大值为
1
2
×
4
10
×
4
5
5
?/p>
8
2.
二、函数法求最?/p>
【示例】在平面直角坐标?/p>
xOy
中,已知椭圆
C
?/p>
x
2
a
2
?/p>
y
2
b
2
?/p>
1(
a
?/p>
b
?/p>
0)
的离心率
e
?/p>
2
3
,且椭圆
C
上的点到
?/p>
Q
(0,2)
的距离的最大值为
3.
(1)
求椭?/p>
C
的方程;
(2)
在椭?/p>
C
上,是否存在?/p>
M
(
m
?/p>
n
)
,使得直?/p>
l
?/p>
mx
?/p>
ny
?/p>
1
与圆
O
?/p>
x
2
?/p>
y
2
?/p>
1
相交于不同的两点
A
?/p>
B
?/p>
且△
OAB
的面积最大?若存在,求出?/p>
M
的坐标及对应的△
OAB
的面积;若不存在,请说明理由?/p>
(1)
?/p>
e
?/p>
c
a
?/p>
a
2
?/p>
b
2
a
2
?/p>
2
3
,得
a
?/p>
3
b
,椭?/p>
C
?/p>
x
2
3
b
2
?/p>
y
2
b
2
?/p>
1
,即
x
2
?/p>
3
y
2
?/p>
3
b
2
?/p>