2010
年“北约”自主招生数学试题及解答
1
?/p>
(仅文科做)
0
2
?/p>
?
?/p>
?
,求证:
sin
tan
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
【解析?/p>
?/p>
妨设
(
)
sin
f
x
x
x
?/p>
?/p>
,则
(0)
0
f
?/p>
,且?/p>
0
2
x
?
?/p>
?
时,
(
)
1
cos
0
f
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
.于?/p>
(
)
f
x
?/p>
0
2
x
?
?/p>
?
上单调增.∴
(
)
(0)
0
f
x
f
?/p>
?/p>
.即?/p>
sin
x
x
?/p>
?/p>
同理可证
(
)
tan
0
g
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
(0)
0
g
?/p>
,当
0
2
x
?/p>
?/p>
?
时,
2
1
(
)
1
0
cos
g
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
.于?/p>
(
)
g
x
?/p>
0
2
x
?
?/p>
?/p>
上单调增?/p>
∴在
0
2
x
?
?/p>
?
上有
(
)
(0)
0
g
x
g
?/p>
?/p>
。即
tan
x
x
?/p>
?/p>
注记:也可用三角函数线的方法求解?/p>
2
?/p>
AB
为边长为
1
的正五边形边上的点.证明?/p>
AB
最长为
5
1
2
?/p>
?/p>
?/p>
25
分)
【解析?/p>
?/p>
正五边形一条边上的中点为原点,
此边所在的直线?/p>
x
轴,
建立如图所示的平面
直角坐标系.
⑴当
,
A
B
中有一点位?/p>
P
点时,知另一点位?/p>
1
R
或?/p>
2
R
时有最
大值为
1
PR
;当有一点位?/p>
O
点时?/p>
1
max
AB
OP
PR
?/p>
?/p>
?/p>
⑵当
,
A
B
均不?/p>
y
轴上时,?/p>
,
A
B
必在
y
轴的异侧方可能取到最大值(否则?/p>
A
点关?/p>
y
轴的对称?/p>
A
?/p>
,有
AB
A
B
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
不妨?/p>
A
位于线段
2
OR
上(由正五边形的中心对称性,知这样的假设?/p>
合理的)
,则?/p>
AB
最大的
B
点必位于线段
PQ
上.
且当
B
?/p>
P
?/p>
Q
移动时,
AB
先减小后增大?/p>
于是
max
AB
AP
AQ
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
PQ
?/p>
?/p>
?/p>
一
?/p>
B
?/p>
?/p>
?/p>
2
BR
BA
?/p>
?/p>
?/p>
?
2
2
max
AB
R
P
R
Q
?/p>
?/p>
由⑴,⑵?/p>
2
max
AB
R
P
?/p>
.不妨设?/p>
x
?/p>
下面研究正五边形对角线的长.
O
R
2
R
1
Q
P
P
Q
R
1
R
2
O
B
A
I
H
G
F
E
1
1
1
1
x
x-
1