1.3.2
函数的极值与导数
【学习目标?/p>
1.
理解极大值、极小值的概念?/p>
2.
能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值;
3.
掌握求可导函数的极值的步骤
.
【新知自学?/p>
知识回顾
?/p>
1.
利用导数判断函数单调性的方法?/p>
设函?/p>
y=f(x)
在某个区间内有导数,如果在这个区间内
0
y
?/p>
?/p>
,那?/p>
y=f(x)
为这个区?/p>
内的
?/p>
如果在这个区间内
0
y
?/p>
?/p>
?/p>
那么
y=f(x)
为这个区间内?/p>
.
新知梳理?/p>
1.
极值定义:
?/p>
1
)极大值:
一般地,设函数
f(x)
在点
x
0
附近有定义,如果?/p>
x
0
附近的所有的点,?/p>
?/p>
,就?/p>
f(x
0
)
是函?/p>
f(x)
的一个极大值,记作
?/p>
x
0
是极
大值点
.
?/p>
2
)极小值:一般地,设函数
f(x)
?/p>
x
0
附近有定义,如果?/p>
x
0
附近的所有的点,?/p>
?/p>
.
就说
f(x
0
)
是函?/p>
f(x)
的一个极小值,记作
?/p>
x
0
是极
小值点
.
?/p>
3
?/p>
?/p>
统称为极?/p>
2.
判别
f
(
x
0
)
是极大、极小值的方法
:
0
x
满足
0
)
(
0
?/p>
?/p>
x
f
,且?/p>
0
x
的两?/p>
)
(
x
f
的导数异号,?/p>
0
x
?/p>
)
(
x
f
的极值点?/p>
)
(
0
x
f
是极值,
并且如果
)
(
x
f
?/p>
?/p>
0
x
两侧满足
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
0
x
?/p>
)
(
x
f
的极大值点?/p>
)
(
0
x
f
是极大值;
如果
)
(
x
f
?/p>
?/p>
0
x
两侧满足
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
0
x
?/p>
)
(
x
f
的极小值点?/p>
)
(
0
x
f
是极小?/p>
.
感悟
?/p>
?/p>
1
)极值点是自变量的值,极值指的是函数值;
?/p>
2
)极值是一个局部的概念定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是
最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
?/p>
3
?/p>
函数的极值不是惟一的,
即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不
止一个.
?/p>
4
)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小?/p>
.
对点练习?/p>
1.
?/p>
?/p>
?/p>
0
0
/
?/p>
x
f
,则
0
x
一定是函数的极值点吗?试举例说?/p>
.