全国各省市高考文科、理科数?/p>
函数与导数大?/p>
1
(本小题?/p>
13
分)
(2013
北京
.
?/p>
)
?/p>
l
为曲?/p>
ln
:
x
C
y
x
?/p>
在点
(1,0)
处的切线?/p>
(Ⅰ)求
l
的方程;
(Ⅱ)证明:除切?/p>
(1,0)
之外,曲?/p>
C
在直?/p>
l
的下方.
解:
?/p>
I
?/p>
2
ln
1
ln
x
x
y
y
x
x
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
,
所?/p>
l
的斜?/p>
1
1
x
k
y
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
所?/p>
l
的方程为
1
y
x
?/p>
?/p>
?/p>
II
)证明:?/p>
(
)
(
1)
ln
(
0)
f
x
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
(2
1)(
1)
(
)
2
1
x
x
f
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
(
)
f
x
?/p>
在(
0
?/p>
1
)上单调递减,在?/p>
1
?/p>
+
∞)上单调递增,又
(1)
0
f
?/p>
(0,1)
x
?/p>
时,
(
)
0
f
x
?/p>
,即
ln
1
x
x
x
?/p>
?/p>
(1,
)
x
?/p>
时,
(
)
0
f
x
?/p>
,即
ln
1
x
x
x
?/p>
?/p>
即除切点?/p>
1
?/p>
0
)之外,曲线
C
在直?/p>
l
的下?/p>
2
?/p>
?/p>
13
分)
?/p>
2013
?/p>
北京
.
文)已知函数
2
(
)
sin
cos
f
x
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
(1)
若曲?/p>
(
)
y
f
x
?/p>
在点
(
,
(
))
a
f
a
处与直线
y
b
?/p>
相切,求
a
?/p>
b
的值;
(2)
若曲?/p>
(
)
y
f
x
?/p>
与直?/p>
y
b
?/p>
有两个不同交点,?/p>
b
的取值范围.
解:
(1)
(
)
2
cos
f
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
,
因为曲线
(
)
y
f
x
?/p>
在点
(
,
(
))
a
f
a
处与直线
y
b
?/p>
相切?/p>
所?/p>
2
2
cos
0
(
)
0
0
(
)
1
sin
cos
a
a
a
f
a
a
f
a
b
b
a
a
a
a
b
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
0,
1
a
b
?/p>
?/p>
(2)
(
)
(2
cos
)
f
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
于是?/p>
0
x
?/p>
时,
(
)
0
f
x
?/p>
?/p>
,故
(
)
f
x
单调递增?/p>