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~ 1 ~
2008
年华南理工数学分析考研试题
及解?/p>
n
?/p>
1.
?/p>
f:Rn?Rn
,且
f?C1?R???
,满?/p>
f?x??f?yx?y
,对于任?/p>
n
?/p>
都成?/p>
.
试证?/p>
f
可逆,
且其逆映射也
是连续可导的
.
x,y?R
证明
显然,对?/p>
任意
x,y?Rn
?/p>
x?y
,有
f?x??f?y?
?/p>
f
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
所
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f?1
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?/p>
f?1?x??f?1?y??x?y
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?/p>
f?1
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?/p>
?/p>
f?x??f?y??x?y
,得
对任意实?/p>
t?0,
?/p>
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x,h?Rn,
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f?x?th??f?x??th
?/p>
f?x?th??f?x??h
在中?/p>
t?0
?/p>
取极限,
则有
t
?/p>
Jf(x)h?h
,任?/p>
x,h?Rn,
从而必?/p>
|Jf(x)|?0
?/p>
Jf
可逆,
隐函数组存在?
理,所?/p>
f?1
存在,且是连续可微的?/p>
?/p>
2.
讨论序列
fn?t??sinnt
?/p>
?0,???
上一
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?/p>
?/p>
.
nt11
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?/p>
?/p>
一
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?/p>
fn?t???
?/p>
nt
对任?/p>
t??0,???
,有
limfn?t??0
?/p>
n??fn?t??sinntnt??t
?/p>
ntntt?0?limfn?t??0
,关?/p>
n
是一致的?/p>