微分几何主要习题解答
1
第一?/p>
曲线?/p>
§
2
向量函数
5
.
向量函数
)
(
t
r
?
具有固定方向的充要条件是
)
(
t
r
?
×
)
(
'
t
r
?
=
0
?/p>
?/p>
分析:一个向量函?/p>
)
(
t
r
?
一般可以写?/p>
)
(
t
r
?
=
)
(
t
?/p>
)
(
t
e
?
的形式,其中
)
(
t
e
?
为单位向
量函数,
)
(
t
?/p>
为数量函数,那么
)
(
t
r
?/p>
具有固定方向的充要条件是
)
(
t
e
?
具有固定方向?/p>
?/p>
)
(
t
e
?/p>
为常向量?/p>
(因?/p>
)
(
t
e
?/p>
的长度固定)
?/p>
?/p>
对于向量函数
)
(
t
r
?/p>
?/p>
?/p>
)
(
t
e
?/p>
为其单位向量,则
)
(
t
r
?/p>
=
)
(
t
?/p>
)
(
t
e
?/p>
,若
)
(
t
r
?
具有?
定方向,?/p>
)
(
t
e
?/p>
为常向量,那?/p>
)
(
'
t
r
?
=
)
(
'
t
?/p>
e
?/p>
?/p>
所?/p>
r
?/p>
×
'
r
?/p>
=
?/p>
'
?/p>
?/p>
e
?/p>
×
e
?/p>
?/p>
=
0
?/p>
?/p>
反之,若
r
?/p>
×
'
r
?/p>
=
0
?/p>
?/p>
?/p>
)
(
t
r
?/p>
=
)
(
t
?/p>
)
(
t
e
?
求微商得
'
r
?/p>
=
'
?/p>
e
?/p>
+
?/p>
'
e
?/p>
?/p>
于是
r
?/p>
×
'
r
?/p>
=
2
?/p>
?/p>
e
?/p>
×
'
e
?/p>
?/p>
=
0
?/p>
?/p>
则有
?/p>
= 0
?/p>
e
?/p>
×
'
e
?/p>
=
0
?/p>
?/p>
?/p>
)
(
t
?/p>
= 0
时,
)
(
t
r
?/p>
=
0
?/p>
可与任意?/p>
向平行;?/p>
?
?
0
时,?/p>
e
?/p>
×
'
e
?/p>
=
0
?/p>
?/p>
而(
e
?/p>
×
'
e
?/p>
2
)
=
2
2
'
e
e
?/p>
?/p>
-
(
e
?/p>
·
'
e
?/p>
2
)
?/p>
2
'
e
?/p>
?/p>
?/p>
因为
e
?/p>
具有固定长,
e
?/p>
·
'
e
?/p>
= 0
?/p>
?/p>
所?/p>
'
e
?/p>
=
0
?/p>
,即
e
?/p>
为常向量。所以,
)
(
t
r
?/p>
具有固定方向?/p>
6
.向量函?/p>
)
(
t
r
?
平行于固定平面的充要条件是(
r
?/p>
'
r
?/p>
'
'
r
?/p>
?/p>
=0
?/p>
分析:向量函?/p>
)
(
t
r
?/p>
平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向?/p>
)
(
t
n
?
?/p>
?
)
(
t
r
?
·
n
?/p>
= 0
?/p>
所以我们要寻求这个向量
n
?/p>
?/p>
n
?/p>
?/p>
'
r
?/p>
?/p>
'
'
r
?/p>
的关系?/p>
?/p>
?/p>
)
(
t
r
?
平行于一固定平面
π
,设
n
?/p>
是平?/p>
π
的一个单位法向量,则
n
?/p>
为常?
量,?/p>
)
(
t
r
?
·
n
?/p>
= 0
?/p>
两次求微商得
'
r
?/p>
·
n
?/p>
= 0
?/p>
'
'
r
?/p>
·
n
?/p>
= 0
,即向量
r
?/p>
?/p>
'
r
?/p>
?/p>
'
'
r
?/p>
垂直
于同一非零向量
n
?/p>
,因而共面,即(
r
?/p>
'
r
?/p>
'
'
r
?
?/p>
=0
?/p>
反之
,
?/p>
?/p>
r
?/p>
'
r
?/p>
'
'
r
?/p>
?/p>
=0
?/p>
则有
r
?/p>
×
'
r
?/p>
=
0
?/p>
?/p>
r
?/p>
×
'
r
?/p>
?/p>
0
?/p>
?/p>
?/p>
r
?/p>
×
'
r
?/p>
=
0
?
?/p>
由上题知
)
(
t
r
?
具有固定方向?/p>
自然平行于一固定平面?/p>
?/p>
r
?/p>
×
'
r
?/p>
?
0
?
?/p>
则存在数量函?/p>
)
(
t
?/p>
?
)
(
t
?/p>
,使
'
'
r
?/p>
=
r
?/p>
?
+
?/p>
'
r
?/p>
?/p>