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微分几何主要习题解答

 

1 

第一?/p>

 

曲线?/p>

 

§

2 

向量函数

 

  

5

. 

向量函数

)

(

t

r

?

具有固定方向的充要条件是

)

(

t

r

?

 

×

 

)

(

'

t

r

?

= 

0

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?/p>

 

 

 

 

分析:一个向量函?/p>

)

(

t

r

?

一般可以写?/p>

)

(

t

r

?

=

)

(

t

?/p>

)

(

t

e

?

的形式,其中

)

(

t

e

?

为单位向

量函数,

)

(

t

?/p>

为数量函数,那么

)

(

t

r

?/p>

具有固定方向的充要条件是

)

(

t

e

?

具有固定方向?/p>

?/p>

)

(

t

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为常向量?/p>

(因?/p>

)

(

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对于向量函数

)

(

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(

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)

(

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(

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)

(

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)

(

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)

(

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)

(

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e

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)

(

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6

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)

(

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?

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r

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'

r

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'

r

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)

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)

(

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所以我们要寻求这个向量

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)

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两次求微商得

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1 

第一?/p>

 

曲线?/p>

 

§

2 

向量函数

 

  

5

. 

向量函数

)

(

t

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?

具有固定方向的充要条件是

)

(

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(

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6

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)

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,因而共面,即(

r

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1 

第一?/p>

 

曲线?/p>

 

§

2 

向量函数

 

  

5

. 

向量函数

)

(

t

r

?

具有固定方向的充要条件是

)

(

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具有固定方向的充要条件是

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(

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所以我们要寻求这个向量

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微分几何习题解答(曲线? - 百度文库
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第一?/p>

 

曲线?/p>

 

§

2 

向量函数

 

  

5

. 

向量函数

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(

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具有固定方向的充要条件是

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)

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为单位向

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)

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为数量函数,那么

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r

?/p>

具有固定方向的充要条件是

)

(

t

e

?

具有固定方向?/p>

?/p>

)

(

t

e

?/p>

为常向量?/p>

(因?/p>

)

(

t

e

?/p>

的长度固定)

?/p>

 

    

?/p>

 

对于向量函数

)

(

t

r

?/p>

?/p>

?/p>

)

(

t

e

?/p>

为其单位向量,则

)

(

t

r

?/p>

=

)

(

t

?/p>

)

(

t

e

?/p>

,若

)

(

t

r

?

具有?

定方向,?/p>

)

(

t

e

?/p>

为常向量,那?/p>

)

(

'

t

r

?

=

)

(

'

t

?/p>

e

?/p>

?/p>

所?/p>

 

r

?/p>

×

'

r

?/p>

=

?/p>

'

?/p>

?/p>

e

?/p>

×

e

?/p>

?/p>

=

0

?/p>

?/p>

 

反之,若

r

?/p>

×

'

r

?/p>

=

0

?/p>

 

?/p>

?/p>

)

(

t

r

?/p>

=

)

(

t

?/p>

)

(

t

e

?

 

求微商得

'

r

?/p>

=

'

?/p>

e

?/p>

+

?/p>

'

e

?/p>

?/p>

于是

r

?/p>

×

'

r

?/p>

=

2

?/p>

?/p>

e

?/p>

×

'

e

?/p>

?/p>

=

0

?/p>

?/p>

则有

 

?/p>

 

= 0 

?/p>

e

?/p>

×

'

e

?/p>

=

0

?/p>

 

?/p>

?/p>

)

(

t

?/p>

= 0

时,

)

(

t

r

?/p>

=

0

?/p>

可与任意?/p>

向平行;?/p>

?

?

0

时,?/p>

e

?/p>

×

'

e

?/p>

=

0

?/p>

?/p>

而(

e

?/p>

×

'

e

?/p>

2

)

=

2

2

'

e

e

?/p>

?/p>

-

(

e

?/p>

·

'

e

?/p>

2

)

?/p>

2

'

e

?/p>

?/p>

?/p>

因为

e

?/p>

具有固定长,

 

e

?/p>

·

'

e

?/p>

= 0

?/p>

 

?/p>

所?/p>

 

'

e

?/p>

=

0

?/p>

,即

e

?/p>

为常向量。所以,

)

(

t

r

?/p>

具有固定方向?/p>

 

6

.向量函?/p>

)

(

t

r

?

平行于固定平面的充要条件是(

r

?/p>

'

r

?/p>

'

'

r

?/p>

?/p>

=0 

?/p>

 

分析:向量函?/p>

)

(

t

r

?/p>

平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向?/p>

)

(

t

n

?

?/p>

?

)

(

t

r

?

·

n

?/p>

 

= 0 

?/p>

所以我们要寻求这个向量

n

?/p>

?/p>

n

?/p>

?/p>

'

r

?/p>

?/p>

'

'

r

?/p>

的关系?/p>

 

?/p>

 

?/p>

)

(

t

r

?

平行于一固定平面

π

,设

n

?/p>

是平?/p>

π

的一个单位法向量,则

n

?/p>

为常?

量,?/p>

)

(

t

r

?

·

n

?/p>

 

= 0 

?/p>

两次求微商得

'

r

?/p>

·

n

?/p>

 

= 0 

?/p>

'

'

r

?/p>

·

n

?/p>

 

= 0 

,即向量

r

?/p>

?/p>

'

r

?/p>

?/p>

'

'

r

?/p>

垂直

于同一非零向量

n

?/p>

,因而共面,即(

r

?/p>

'

r

?/p>

'

'

r

?

?/p>

=0 

?/p>

 

反之

, 

?/p>

?/p>

r

?/p>

'

r

?/p>

'

'

r

?/p>

?/p>

=0

?/p>

则有

r

?/p>

×

'

r

?/p>

=

0

?/p>

 

?/p>

r

?/p>

×

'

r

?/p>

?/p>

0

?/p>

?/p>

?/p>

r

?/p>

×

'

r

?/p>

=

0

?

?/p>

由上题知

)

(

t

r

?

具有固定方向?/p>

自然平行于一固定平面?/p>

?/p>

r

?/p>

×

'

r

?/p>

?

0

?

?/p>

则存在数量函?/p>

)

(

t

?/p>

?

)

(

t

?/p>

,使

'

'

r

?/p>

= 

r

?/p>

?

+

?/p>

'

r

?/p>

 

 

 

?/p>

 



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