求不定方程整数解的常用方?/p>
不定方程是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制(如要求?/p>
有理数,整数或正整数?/p>
)
的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程,是数论的重?/p>
分支学科,也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数?/p>
年,
“百钱百鸡问题”等一直流传至今,
“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理?/p>
一般常用的求不定方程整数解的方法包括:
(1)
分离整数?/p>
此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数,将其结果?/p>
整数部分?/p>
离出来,则剩下部分仍为整?/p>
,则令其为一个新的整数变量,以此类推,直到能
直接
观察出特?/p>
的不定方程为止,再追根溯源,求出原方程的特解
.
?/p>
1
求不定方?/p>
0
2
5
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
y
x
x
的整数解
?/p>
已知方程可化?/p>
2
3
1
2
3
2
2
2
3
2
2
5
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?
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?/p>
?/p>
?/p>
x
x
x
x
x
x
x
x
y
因为
y
是整数,所?/p>
2
3
?/p>
x
也是整数
.
由此
x+2=1
?/p>
-1
?/p>
3
?/p>
-3
,即
x=-1
?/p>
-3
?/p>
1
?/p>
-5
?/p>
相应?/p>
.
0
,
2
,
0
,
4
?/p>
y
所以方程的整数解为
(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).
(2)
辗转相除?/p>
此法主要借助辗转相除式逆推求特解,具体步骤如下?/p>
第一步,化简方程,尽量化简为简洁形?/p>
(
便于利用同余、奇偶分析的形式
);
第二步,缩小未知数的范围,就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内,?/p>
于下一步讨?/p>
;
第三步,用辗转相除法解不定方?/p>
.
?/p>
2
求不定方?/p>
25
107
37
?/p>
?/p>
y
x
的整数解
.
?/p>
因为
25
1
)
107
,
37
(
?/p>
,
所以原方程有整数解
.
用辗转相除法求特?/p>
:
1
8
4
33
,
4
1
33
37
,
33
2
37
107
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?/p>
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?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
从最后一个式子向上逆推得到
1
9
107
)
26
(
37
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