1
微积分基本定?/p>
【学习目标?/p>
1.
理解微积分基本定理的含义?/p>
2.
能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题?/p>
【要点梳理?/p>
要点一、微积分基本定理的引?/p>
我们已学过过用定积分定义计算定积?/p>
,
但其计算过程比较复杂
,
所以不是求定积分的一
般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法
,
也是比较一般的方法?/p>
(1)
导数和定积分的直观关?/p>
:
如下?/p>
:
一个做变速直线运动的物体的运动规律是
s=s(t),
由导数的概念可知
,
它在任意?/p>
?/p>
t
的速度
v(t)=s
?/p>
(t)
。设这个物体在时间段
[a,b]
内的位移?/p>
s,
你能分别?/p>
s(t)
?/p>
v(t)
表示
s
吗?
一方面
,
这段路程可以通过位置函数
S(t)
?/p>
[a,b]
上的增量
s(b)
?/p>
s(a)
来表?/p>
,
?/p>
s=s(b)
?/p>
s(a)
?/p>
另一方面
,
这段路程还可以通过速度函数
v(t)
表示?/p>
(
)d
b
a
v
t
t
?
,
?/p>
s =
(
)d
b
a
v
t
t
?
?/p>
所以有
:
(
)d
b
a
v
t
t
?/p>
?
s(b)
?/p>
s(a)
(2)
导数和定积分的直观关系的推证
:
上述结论可以利用定积分的方法来推?/p>
,
过程如下
:
如右?/p>
:
用分?/p>
a=t
0
?/p>
t
1
<…<
t
i
?/p>
1
?/p>
t
i
<…<
t
n
=b,
将区?/p>
[a,b]
等分?/p>
n
个小区间
:
[t
0
,t
1
],[t
1
,t
2
],
?/p>
,[t
i
?/p>
1
,t
i
],
?/p>
,[t
n
?/p>
1
,t
n
],
每个小区间的长度均为