- 1 -
?/p>
5
?/p>
利用导数研究不等式的恒成立问?/p>
1
?/p>
已知函数
f
(
x
)
?/p>
x
?/p>
4
x
?/p>
g
(
x
)
?/p>
2
x
?/p>
a
?/p>
?/p>
∀
x
1
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
2
?/p>
1
?/p>
?/p>
x
2
?/p>
[2
?
3]
?/p>
使得
f
(
x
1
)?/p>
g
(
x
2
)
?/p>
则实?/p>
a
的取值范围是
(
)
A
?/p>
a
?/p>
1
B
?/p>
a
?/p>
1
C
?/p>
a
?/p>
2
D
?/p>
a
?/p>
2
解析:?/p>
A.
由题意知
f
(
x
)
min
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
2
?/p>
1
?/p>
g
(
x
)
min
(
x
?/p>
[2
?/p>
3])
,因?/p>
f
(
x
)
min
?/p>
5
?/p>
g
(
x
)
min
?/p>
4
?/p>
a
,所?/p>
5??/p>
a
,即
a
?,故?/p>
A.
2
?/p>
(2019·吉林白山联?/p>
)
设函?/p>
f
(
x
)
?/p>
e
x
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
x
?/p>
3
x
?/p>
3
?/p>
a
x
?/p>
若不等式
f
(
x
)?
有正实数解,
则实?/p>
a
的最小值为
________
?/p>
解析:原问题等价于存?/p>
x
?0,+?,使?/p>
a
?/p>
e
x
(
x
2
?/p>
3
x
?/p>
3)
,令
g
(
x
)
?/p>
e
x
(
x
2
?/p>
3
x
?/p>
3)
?/p>
x
?/p>
(0
,+?,则
a
?/p>
g
(
x
)
min
,?/p>
g
?
x
)
?/p>
e
x
(
x
2
?/p>
x
)
.由
g
?
x
)>0
可得
x
?1,+??/p>
?/p>
g
?
x
)<0
可得
x
?0?/p>
1)
.据此可知,函数
g
(
x
)
在区?/p>
(0
,+?上的最小值为
g
(1)
?/p>
e.
综上可得,实?/p>
a
的最小值为
e.
答案?/p>
e
3
?2019·武汉市调研测?/p>
)
已知函数
f
(
x
)
?/p>
(
x
?/p>
1)ln
x
?/p>
ax
(
a
?/p>
R
)
?/p>
(1)
?/p>
a
?/p>
0
时,?/p>
f
(
x
)
的单调区间;
(2)
?/p>
f
(
x
)>0
?/p>
(0
,+?上恒成立,求实数
a
的取值范围.
解:
(1)
a
?/p>
0
时,
f
(
x
)
?/p>
(
x
?/p>
1)ln
x
?/p>
f
?/p>
(
x
)
?/p>
ln
x
?/p>
(
x
?)·
1
x
?/p>
ln
x
?/p>
1
x
?/p>
1
,设
g
(
x
)
?/p>
ln
x
?/p>
1
x
?/p>
1
?/p>
?/p>
g
?
x
)
?
x
?/p>
1
x
2
>0
,所?/p>
g
(
x
)
?/p>
(0
,+?上单调递增,?/p>
g
(1)
?/p>
0
?/p>
所?/p>
x
?0?/p>
1)
时,
g
(
x
)<0
,即
f
?
x
)<0
?/p>
x
?/p>
(1
,+?时,
g
(
x
)>0
,即
f
?
x
)>0
?/p>
所?/p>
f
(
x
)
的单调递减区间?/p>
(0
?/p>
1)
,单调递增区间?/p>
(1
,+??/p>
(2)
?/p>
(
x
?/p>
1)ln
x
?/p>
ax
>0
,得?/p>
ax
<(
x
?/p>
1)ln
x
,?/p>
x
>0
?/p>
所以-
a
<
?/p>
x
?/p>
1
?/p>
ln
x
x
?/p>
ln
x
?/p>
ln
x
x
.
?/p>
h
(
x
)
?/p>
ln
x
?/p>
ln
x
x
,则
h
?
x
)
?/p>
1
x
?/p>
1
x
·
x
?/p>
ln
x
x
2
?/p>
ln
x
?/p>
x
?/p>
1
x
2
?/p>