1
?/p>
定积?/p>
(1)
定积分的相关概念
?/p>
?/p>
b
a
f
(
x
)d
x
中,
a
?/p>
b
分别叫做积分下限与积分上限,区间
[
a
?/p>
b
]
叫做积分区间?/p>
f
(
x
)
叫做被积函数?/p>
x
叫做积分?/p>
量,
f
(
x
)d
x
叫做被积式.
(2)
定积分的几何意义
①当函数
f
(
x
)
在区?/p>
[
a
?/p>
b
]
上恒为正时,定积?/p>
?/p>
b
a
f
(
x
)d
x
的几何意义是由直?/p>
x
?/p>
a
?/p>
x
?/p>
b
(
a
?/p>
b
)
?/p>
y
?/p>
0
和曲?/p>
y
?/p>
f
(
x
)
所围成的曲边梯形的面积
(
左图中阴影部?/p>
)
?/p>
②一般情况下,定积分
?/p>
b
a
f
(
x
)d
x
的几何意义是介于
x
轴、曲?/p>
f
(
x
)
以及直线
x
?/p>
a
?/p>
x
?/p>
b
之间的曲边梯形面积的?/p>
数和
(
右上图中阴影所?/p>
)
,其中在
x
轴上方的面积等于该区间上的积分值,?/p>
x
轴下方的面积等于该区间上积分值的
相反数.
(3)
定积分的基本性质
?/p>
?/p>
b
a
kf
(
x
)d
x
?/p>
k
?/p>
b
a
f
(
x
)d
x
.
?/p>
?/p>
b
a
[
f
1
(
x
)±
f
2
(
x
)]d
x
?/p>
?/p>
b
a
f
1
(
x
)d
x
±
?/p>
b
a
f
2
(
x
)d
x
.
?/p>
?/p>
b
a
f
(
x
)d
x
?/p>
?/p>
c
a
f
(
x
)d
x
?/p>
?/p>
b
c
f
(
x
)d
x
.
[
探究
]
1.
若积分变量为
t
,则
?/p>
b
a
f
(
x
)d
x
?/p>
?/p>
b
a
f
(
t
)d
t
是否相等?/p>
提示?/p>
相等?/p>
2
.一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗?
提示?/p>
一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微
积分基本定理求定积分时,
只要找到被积函数的一个原函数即可?/p>
并且一般使用不含常数的原函数,
这样有利于计算.
3
.定积分
?/p>
b
a
[
f
(
x
)
?/p>
g
(
x
)]d
x
(
f
(
x
)>
g
(
x
))
的几何意义是什么?
提示?/p>
由直?/p>
x
?/p>
a
?/p>
x
?/p>
b
和曲?/p>
y
?/p>
f
(
x
)
?/p>
y
?/p>
g
(
x
)
所围成的曲边梯形的面积?/p>
2
?/p>
微积分基本定?/p>
如果
f
(
x
)
是区?/p>
[
a
?/p>
b
]
上的连续函数,并?/p>
F
?/p>
(
x
)
?/p>
f
(
x
)
,那?/p>
?/p>
b
a
f
(
x
)d
x
?/p>
F
(
b
)
?/p>
F
(
a
)
,这个结论叫做微积分基本?
理,又叫做牛?/p>
?/p>
莱布尼兹公式?/p>
为了方便,常?/p>
F
(
b
)
?/p>
F
(
a
)
记成
F
(
x
)
|
b
a
,即
?/p>
b
a
f
(
x
)d
x
?/p>
F
(
x
)
|
b
a
?/p>
F
(
b
)
?/p>
F
(
a
)
?/p>
[
自测
·
牛刀小试
]
1.
?/p>
4
2
1
x
d
x
等于
(
)
A
?/p>
2ln 2
B
.-
2ln 2
C
.-
ln 2
D
?/p>
ln 2