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小学数学奥数基础教程
(
五年?/p>
)
本教程共
30
?/p>
奇偶性(三)
利用奇?/p>
偶数的性质?/p>
上两讲已经解决了许多有关奇偶性的问题?/p>
?/p>
讲将继续利用奇偶性研究一些表面上似乎与奇偶性无关的问题?/p>
?/p>
1
?/p>
7
×
7
的正方形的方格表中,
以左上角与右下角所连对角线?/p>
轴对称地放置棋子?/p>
要求每个方格中放置不多于
1
枚棋子,
且每行正好放
3
枚棋子,则在这条对角线上的格子里至少放有一枚棋子,这是为什么?
分析与解
?/p>
题目说在指定的这条对角线上的格子里必定至少放有一?/p>
棋子,假设这个说法不对,即对角线上没放棋子。如下图所示,因为题目
要求摆放的棋子以
MN
为对称轴,所以对?/p>
MN
左下方的任意一?/p>
A
,总有
MN
右上方的一?/p>
A
',
A
?/p>
A
'关?/p>
MN
对称,所?/p>
A
?/p>
A
'要么都放有?/p>
子,
要么都没放棋子?/p>
由此推知方格表中放置棋子的总枚数应是偶数?/p>
?/p>
题设每行?/p>
3
枚棋子,
7
行共放棋?/p>
3
×
7=21
(枚),
21
是奇数,与上?/p>
的推论矛盾?/p>
所以假设不成立?/p>
即在指定的对角线上的格子中必定至少有
一枚棋子?/p>
?/p>
2
对于左下表,每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数?/p>
能否经过若干次后
(各次减去或加上的数可以不同?/p>
?/p>
变为右下表?为什
么?
分析与解
?/p>
因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数?/p>
所以表?/p>
九个数码的总和经过变化后,等于原来的总和加上或减去那个数?/p>
2
倍,
因此总和的奇偶性没有改变?/p>
原来九个数的总和?/p>
1+2+
?/p>
+9=45
?/p>
是奇数,
经过若干次变化后,总和仍应是奇数,与右上表九个数的总和?/p>
4
矛盾?/p>
所以不可能变成右上表?/p>