3.1.2
空间向量的基本定ç�?/p>
课堂导学
三点剖析
一、三点共线的判定
【例
1
�/p>
已知
A,B,P
三点共线
,O
为空间任意一ç‚?/p>
,
AB
t
AP
�/p>
αOA+βOB,æ±?/p>
α+β
的å€?/p>
.
思路分析
:
A
�/p>
B
�/p>
P
三点共线
,
即满è¶?/p>
AP=tAB,
因此æœ?/p>
)
(
OA
OB
t
OA
OP
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
.
OA
t
OB
t
OP
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
)
1
(
.
解:
∵A,B,P
三点共线
,
∴存在实æ•?/p>
t,
ä½?/p>
)
)
1
(
OB
t
OA
t
OP
�/p>
�/p>
�/p>
.
又∵
)
OB
OA
OP
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
,∴Î?1
-
t,β=t.
∴Î?β=1
-t+t=1.
温馨提示
ç‚?/p>
P,A,B
å…?/p>
�/p>
çš?/p>
å…?/p>
�/p>
�/p>
ä»?/p>
�/p>
�/p>
�/p>
)
OB
t
OA
OP
�/p>
�/p>
çš?/p>
å½?/p>
å¼?/p>
,
�/p>
�/p>
�
)
)
1
(
OB
t
OA
t
OP
�/p>
�/p>
�/p>
的形å¼?/p>
.
二、四点共面问é¢?/p>
【例
2
�/p>
O
为空间任一ç‚?/p>
,A,B,C,D
四点共面
,
è‹?/p>
)
OD
z
OC
y
OB
x
OA
�/p>
�/p>
�/p>
,
确定
x,y,z
的关
ç³?/p>
.
解析
:
∵A,B,C,D
四点共面
,
∴存在实æ•?/p>
a,b
ä½?/p>
AD
b
AC
a
AB
�/p>
�/p>
�/p>
)
(
)
(
OA
OD
b
OA
OC
a
OB
OA
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
.
于是
OD
b
a
b
OC
b
a
a
b
a
OB
OA
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
1
1
1
所ä»?/p>
x=
b
a
�/p>
�/p>
1
1
,
y=
b
a
a
�/p>
�/p>
1
,
z=
b
a
b
�/p>
�/p>
1
因此
x+y+z=1.
温馨提示
四点
A,B,C,D
共面的充要条件是对空间任一ç‚?/p>
O,
�/p>
OC
z
OC
y
OB
x
OA
�/p>
�/p>
�/p>
,
�/p>
x+y+z=1.