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第十一è®?/p>
解析几何范围最值问é¢?/p>
解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系,根据目标函数和不等式求最值ã€?/p>
范围,因此这类问题的难点,就是如何建立目标函数和不等关系.建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合é€?/p>
变量,其原则是这个变量能够表达要解决的问题,这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等,要根据
问题的实际情况灵活处ç�?/p>
.
一、几何法求最å€?/p>
【例
1
�/p>
抛物线的顶点
O
在坐标原点,焦点åœ?/p>
y
轴负半轴上,过点
M
(0
,-
2)
作直çº?/p>
l
与抛物线相交äº?/p>
A
ï¼?/p>
B
两点,且满足+=
(
ï¼?/p>
4
,-
12)
ï¼?/p>
(1)
求直çº?/p>
l
和抛物线的方程;
(2)
当抛物线上一动点
P
从点
A
运动到点
B
时,求△
ABP
面积的最大值.
[
满分解答
]
(1)
根据题意可设直线
l
的方程为
y
ï¼?/p>
kx
ï¼?/p>
2
,抛物线方程ä¸?/p>
x
2
=-
2
py
(
p
ï¼?/p>
0)
ï¼?/p>
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�
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�/p>
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y
ï¼?/p>
kx
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2
ï¼?/p>
x
2
=-
2
py
ï¼?/p>
å¾?/p>
x
2
ï¼?/p>
2
pkx
ï¼?/p>
4
p
ï¼?/p>
0
设点
A
(
x
1
ï¼?/p>
y
1
)
ï¼?/p>
B
(
x
2
ï¼?/p>
y
2
)
,则
x
1
ï¼?/p>
x
2
=-
2
pk
ï¼?/p>
y
1
ï¼?/p>
y
2
ï¼?/p>
k
(
x
1
ï¼?/p>
x
2
)
ï¼?/p>
4
=-
2
pk
2
ï¼?/p>
4.
所以+ï¼?/p>
(
ï¼?/p>
4
,-
12)
,所ä»?/p>
�
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�/p>
�/p>
�/p>
ï¼?/p>
2
pk
=-
4
ï¼?/p>
ï¼?/p>
2
pk
2
ï¼?/p>
4
=-
12
ï¼?/p>
解得
�/p>
�/p>
�/p>
�
�/p>
p
ï¼?/p>
1
ï¼?/p>
k
ï¼?/p>
2.
故直çº?/p>
l
的方程为
y
ï¼?/p>
2
x
ï¼?/p>
2
,抛物线方程ä¸?/p>
x
2
=-
2
y
.
(2)
è®?/p>
P
(
x
0
ï¼?/p>
y
0
)
,依题意,知当抛物线过点
P
的切线与
l
平行时,â–?/p>
ABP
的面积最大.
�/p>
y
=-
1
2
x
2
求导,得
y
′=ï¼?/p>
x
,所以-
x
0
ï¼?/p>
2
,即
x
0
=-
2
ï¼?/p>
y
0
=-
1
2
x
2
0
=-
2
,即
P
(
ï¼?/p>
2
,-
2)
ï¼?/p>
此时ç‚?/p>
P
到直çº?/p>
l
的距ç¦?/p>
d
ï¼?
|2
·
�/p>
ï¼?/p>
2
�/p>
ï¼?/p>
�/p>
ï¼?/p>
2
�/p>
ï¼?/p>
2|
2
2
ï¼?/p>
�/p>
ï¼?/p>
1
�/p>
2
ï¼?/p>
4
5
ï¼?/p>
4
5
5
.
ç”?/p>
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
�/p>
y
ï¼?/p>
2
x
ï¼?/p>
2
ï¼?
x
2
=-
2
y
ï¼?
å¾?/p>
x
2
ï¼?/p>
4
x
ï¼?/p>
4
ï¼?/p>
0
,则
x
1
ï¼?/p>
x
2
=-
4
ï¼?/p>
x
1
x
2
=-
4
ï¼?/p>
|
AB
|
ï¼?/p>
1
ï¼?/p>
k
2
·
�/p>
x
1
ï¼?/p>
x
2
�/p>
2
ï¼?/p>
4
x
1
x
2
ï¼?/p>
1
ï¼?/p>
2
2
·
�/p>
ï¼?/p>
4
�/p>
2
ï¼?/p>
4
·
�/p>
ï¼?/p>
4
�/p>
ï¼?/p>
4
10.
于是,△
ABP
面积的最大值为
1
2
×
4
10
×
4
5
5
ï¼?/p>
8
2.
二、函数法求最å€?/p>
【示例】在平面直角坐标ç³?/p>
xOy
中,已知椭圆
C
ï¼?/p>
x
2
a
2
ï¼?/p>
y
2
b
2
ï¼?/p>
1(
a
ï¼?/p>
b
ï¼?/p>
0)
的离心率
e
ï¼?/p>
2
3
,且椭圆
C
上的点到
ç‚?/p>
Q
(0,2)
的距离的最大值为
3.
(1)
求椭åœ?/p>
C
的方程;
(2)
在椭åœ?/p>
C
上,是否存在ç‚?/p>
M
(
m
ï¼?/p>
n
)
,使得直çº?/p>
l
ï¼?/p>
mx
ï¼?/p>
ny
ï¼?/p>
1
与圆
O
ï¼?/p>
x
2
ï¼?/p>
y
2
ï¼?/p>
1
相交于不同的两点
A
�/p>
B
ï¼?/p>
且△
OAB
的面积最大?若存在,求出ç‚?/p>
M
的坐标及对应的△
OAB
的面积;若不存在,请说明理由ï¼?/p>