立体几何
一、平面的基本性质
公理
1
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内
.
公理
2
如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线
.
公理
3
经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平?/p>
.
根据上面的公理,可得以下推论
.
推论
1
经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平?/p>
.
推论
2
经过两条相交直线,有且只有一个平?/p>
.
推论
3
经过两条平行直线,有且只有一个平?/p>
.
二、空间线面的位置关系
共面
平行—没有公共点
(1)
直线与直?/p>
相交—有且只有一个公共点
异面
(
既不平行,又不相?/p>
)
直线在平面内—有无数个公共点
(2)
直线和平?/p>
直线不在平面?/p>
平行—没有公共点
(
直线在平面外
)
相交—有且只有一公共?/p>
(3)
平面与平?/p>
相交—有一条公共直?/p>
(
无数个公共点
)
平行—没有公共点
三、异面直线的判定
证明两条直线是异面直线通常采用反证?/p>
.
有时也可用定?/p>
“平面内一点与平面外一点的连线?/p>
与平面内不经过该点的直线是异面直线?/p>
.
四、线面平行与垂直的判?/p>
(1)
两直线平行的判定
①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行
.
②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和?/p>
线平行,即若
a
∥?/p>
,a
β,α∩β
=b,
?/p>
a
?/p>
b.
③平行于同一直线的两直线平行,即?/p>
a
?/p>
b,b
?/p>
c,
?/p>
a
?/p>
c.
④垂直于同一平面的两直线平行,即?/p>
a
⊥α,
b
⊥α,?/p>
a
?/p>
b
⑤两平行平面与同一个平面相交,
那么两条交线平行?/p>
即若α∥?/p>
,
α∩?/p>
,
β∩?/p>
=b,
?/p>
a
?/p>
b
⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α?/p>
β
=b,a
∥?/p>
,a
∥β,?/p>
a
?/p>
b.
(2)
两直线垂直的判定
1.
定义:若两直线成
90
°角,则这两直线互相垂?/p>
.
2.
一条直线与两条平行直线中的一条垂直,也必与另一条垂?/p>
.
即若
b
?/p>
c,a
?/p>
b,
?/p>
a
?/p>
c
3.
一条直线垂直于一个平面,则垂直于这个平面内的任意一条直?/p>
.
即若
a
⊥?/p>
,b
?/p>
α?/p>
a
?/p>
b.
4.
如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面的垂线垂直
.
即若
a
∥?/p>
,b
⊥?/p>
,