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立体几何

 

一、平面的基本性质

 

公理

1  

如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内

. 

公理

2  

如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线

. 

公理

3  

经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平?/p>

. 

根据上面的公理,可得以下推论

. 

推论

1  

经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平?/p>

. 

推论

2  

经过两条相交直线,有且只有一个平?/p>

. 

推论

3  

经过两条平行直线,有且只有一个平?/p>

. 

二、空间线面的位置关系

 

                  

共面

  

平行—没有公共点

 

(1)

直线与直?/p>

         

相交—有且只有一个公共点

 

异面

(

既不平行,又不相?/p>

) 

               

直线在平面内—有无数个公共点

 

(2)

直线和平?/p>

  

直线不在平面?/p>

  

平行—没有公共点

 

               (

直线在平面外

)  

相交—有且只有一公共?/p>

 

(3)

平面与平?/p>

   

相交—有一条公共直?/p>

(

无数个公共点

) 

平行—没有公共点

 

三、异面直线的判定

 

证明两条直线是异面直线通常采用反证?/p>

. 

有时也可用定?/p>

“平面内一点与平面外一点的连线?/p>

与平面内不经过该点的直线是异面直线?/p>

. 

四、线面平行与垂直的判?/p>

 

 (1)

两直线平行的判定

 

①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行

. 

②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和?/p>

线平行,即若

a

∥?/p>

,a

β,α∩β

=b,

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a

?/p>

b. 

③平行于同一直线的两直线平行,即?/p>

a

?/p>

b,b

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c,

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a

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c. 

④垂直于同一平面的两直线平行,即?/p>

a

⊥α,

b

⊥α,?/p>

a

?/p>

b 

⑤两平行平面与同一个平面相交,

那么两条交线平行?/p>

即若α∥?/p>

,

α∩?/p>

,

β∩?/p>

=b,

?/p>

a

?/p>

b 

⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α?/p>

β

=b,a

∥?/p>

,a

∥β,?/p>

a

?/p>

b. 

(2)

两直线垂直的判定

 

1.

定义:若两直线成

90

°角,则这两直线互相垂?/p>

. 

2.

一条直线与两条平行直线中的一条垂直,也必与另一条垂?/p>

.

即若

b

?/p>

c,a

?/p>

b,

?/p>

a

?/p>

c 

3.

一条直线垂直于一个平面,则垂直于这个平面内的任意一条直?/p>

.

即若

a

⊥?/p>

,b

?/p>

α?/p>

a

?/p>

b.

 

4.

如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面的垂线垂直

.

即若

a

∥?/p>

,b

⊥?/p>

,

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立体几何

 

一、平面的基本性质

 

公理

1  

如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内

. 

公理

2  

如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线

. 

公理

3  

经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平?/p>

. 

根据上面的公理,可得以下推论

. 

推论

1  

经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平?/p>

. 

推论

2  

经过两条相交直线,有且只有一个平?/p>

. 

推论

3  

经过两条平行直线,有且只有一个平?/p>

. 

二、空间线面的位置关系

 

                  

共面

  

平行—没有公共点

 

(1)

直线与直?/p>

         

相交—有且只有一个公共点

 

异面

(

既不平行,又不相?/p>

) 

               

直线在平面内—有无数个公共点

 

(2)

直线和平?/p>

  

直线不在平面?/p>

  

平行—没有公共点

 

               (

直线在平面外

)  

相交—有且只有一公共?/p>

 

(3)

平面与平?/p>

   

相交—有一条公共直?/p>

(

无数个公共点

) 

平行—没有公共点

 

三、异面直线的判定

 

证明两条直线是异面直线通常采用反证?/p>

. 

有时也可用定?/p>

“平面内一点与平面外一点的连线?/p>

与平面内不经过该点的直线是异面直线?/p>

. 

四、线面平行与垂直的判?/p>

 

 (1)

两直线平行的判定

 

①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行

. 

②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和?/p>

线平行,即若

a

∥?/p>

,a

β,α∩β

=b,

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a

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b. 

③平行于同一直线的两直线平行,即?/p>

a

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b,b

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c,

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a

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c. 

④垂直于同一平面的两直线平行,即?/p>

a

⊥α,

b

⊥α,?/p>

a

?/p>

b 

⑤两平行平面与同一个平面相交,

那么两条交线平行?/p>

即若α∥?/p>

,

α∩?/p>

,

β∩?/p>

=b,

?/p>

a

?/p>

b 

⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α?/p>

β

=b,a

∥?/p>

,a

∥β,?/p>

a

?/p>

b. 

(2)

两直线垂直的判定

 

1.

定义:若两直线成

90

°角,则这两直线互相垂?/p>

. 

2.

一条直线与两条平行直线中的一条垂直,也必与另一条垂?/p>

.

即若

b

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c,a

?/p>

b,

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a

?/p>

c 

3.

一条直线垂直于一个平面,则垂直于这个平面内的任意一条直?/p>

.

即若

a

⊥?/p>

,b

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α?/p>

a

?/p>

b.

 

4.

如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面的垂线垂直

.

即若

a

∥?/p>

,b

⊥?/p>

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立体几何

 

一、平面的基本性质

 

公理

1  

如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内

. 

公理

2  

如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线

. 

公理

3  

经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平?/p>

. 

根据上面的公理,可得以下推论

. 

推论

1  

经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平?/p>

. 

推论

2  

经过两条相交直线,有且只有一个平?/p>

. 

推论

3  

经过两条平行直线,有且只有一个平?/p>

. 

二、空间线面的位置关系

 

                  

共面

  

平行—没有公共点

 

(1)

直线与直?/p>

         

相交—有且只有一个公共点

 

异面

(

既不平行,又不相?/p>

) 

               

直线在平面内—有无数个公共点

 

(2)

直线和平?/p>

  

直线不在平面?/p>

  

平行—没有公共点

 

               (

直线在平面外

)  

相交—有且只有一公共?/p>

 

(3)

平面与平?/p>

   

相交—有一条公共直?/p>

(

无数个公共点

) 

平行—没有公共点

 

三、异面直线的判定

 

证明两条直线是异面直线通常采用反证?/p>

. 

有时也可用定?/p>

“平面内一点与平面外一点的连线?/p>

与平面内不经过该点的直线是异面直线?/p>

. 

四、线面平行与垂直的判?/p>

 

 (1)

两直线平行的判定

 

①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行

. 

②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和?/p>

线平行,即若

a

∥?/p>

,a

β,α∩β

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③平行于同一直线的两直线平行,即?/p>

a

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④垂直于同一平面的两直线平行,即?/p>

a

⊥α,

b

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⑤两平行平面与同一个平面相交,

那么两条交线平行?/p>

即若α∥?/p>

,

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,

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=b,

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a

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⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α?/p>

β

=b,a

∥?/p>

,a

∥β,?/p>

a

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b. 

(2)

两直线垂直的判定

 

1.

定义:若两直线成

90

°角,则这两直线互相垂?/p>

. 

2.

一条直线与两条平行直线中的一条垂直,也必与另一条垂?/p>

.

即若

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b,

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3.

一条直线垂直于一个平面,则垂直于这个平面内的任意一条直?/p>

.

即若

a

⊥?/p>

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α?/p>

a

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b.

 

4.

如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面的垂线垂直

.

即若

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高中数学立体几何知识点总结 - 百度文库
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立体几何

 

一、平面的基本性质

 

公理

1  

如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内

. 

公理

2  

如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线

. 

公理

3  

经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平?/p>

. 

根据上面的公理,可得以下推论

. 

推论

1  

经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平?/p>

. 

推论

2  

经过两条相交直线,有且只有一个平?/p>

. 

推论

3  

经过两条平行直线,有且只有一个平?/p>

. 

二、空间线面的位置关系

 

                  

共面

  

平行—没有公共点

 

(1)

直线与直?/p>

         

相交—有且只有一个公共点

 

异面

(

既不平行,又不相?/p>

) 

               

直线在平面内—有无数个公共点

 

(2)

直线和平?/p>

  

直线不在平面?/p>

  

平行—没有公共点

 

               (

直线在平面外

)  

相交—有且只有一公共?/p>

 

(3)

平面与平?/p>

   

相交—有一条公共直?/p>

(

无数个公共点

) 

平行—没有公共点

 

三、异面直线的判定

 

证明两条直线是异面直线通常采用反证?/p>

. 

有时也可用定?/p>

“平面内一点与平面外一点的连线?/p>

与平面内不经过该点的直线是异面直线?/p>

. 

四、线面平行与垂直的判?/p>

 

 (1)

两直线平行的判定

 

①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行

. 

②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和?/p>

线平行,即若

a

∥?/p>

,a

β,α∩β

=b,

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a

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b. 

③平行于同一直线的两直线平行,即?/p>

a

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b,b

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c,

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c. 

④垂直于同一平面的两直线平行,即?/p>

a

⊥α,

b

⊥α,?/p>

a

?/p>

b 

⑤两平行平面与同一个平面相交,

那么两条交线平行?/p>

即若α∥?/p>

,

α∩?/p>

,

β∩?/p>

=b,

?/p>

a

?/p>

b 

⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α?/p>

β

=b,a

∥?/p>

,a

∥β,?/p>

a

?/p>

b. 

(2)

两直线垂直的判定

 

1.

定义:若两直线成

90

°角,则这两直线互相垂?/p>

. 

2.

一条直线与两条平行直线中的一条垂直,也必与另一条垂?/p>

.

即若

b

?/p>

c,a

?/p>

b,

?/p>

a

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c 

3.

一条直线垂直于一个平面,则垂直于这个平面内的任意一条直?/p>

.

即若

a

⊥?/p>

,b

?/p>

α?/p>

a

?/p>

b.

 

4.

如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面的垂线垂直

.

即若

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