第四?/p>
非线性回归模型的线性化
以上介绍了线性回归模型。但有时候变量之间的关系是非线性的。例?/p>
y
t
=
?/p>
0
+
?/p>
1
1
?/p>
t
x
+
u
t
y
t
=
?/p>
0
t
x
e
1
?/p>
+
u
t
上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估
计。估计过程非常复杂和困难,在
20
世纪
40
年代之前几乎不可能实现。计算机的出
现大大方便了非线性回归模型的估计。专用软件使这种计算变得非常容易。但本章?/p>
是介绍这类模型的估计?/p>
另外还有一类非线性回归模型。其形式是非线性的,但可以通过适当的变换,?/p>
化为线性模型,然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可
线性化的非线性模型。下面介绍几种典型的可以线性化的非线性模型?/p>
4.1
可线性化的模?/p>
?/p>
指数函数模型
y
t
=
t
t
u
bx
ae
?/p>
(4.1)
b
>0
?/p>
b
<0
两种情形的图形分别见?/p>
4.1
?/p>
4.2
?/p>
显然
x
t
?/p>
y
t
的关系是非线性的?/p>
对上
式等号两侧同取自然对数,?/p>
Lny
t
=
Lna
+
b x
t
+
u
t
(4.2)
?/p>
Lny
t
=
y
t
*,
Lna
=
a
*,
?/p>
y
t
* =
a
* +
bx
t
+
u
t
(4.3)
变量
y
t
*
?/p>
x
t
已变换成为线性关系。其?/p>
u
t
表示随机误差项?/p>
0
10
20
30
40
50
0
1
2
3
4
X
Y
1
?/p>
4.1
y
t
=
t
t
u
bx
ae
?/p>
, (
b
> 0)
?/p>
4.2
y
t
=
t
t
u
bx
ae
?/p>
, (
b
< 0)