1
?/p>
1
?/p>
线性空间和线性变换(详解?/p>
1-1
证:?/p>
ii
E
表示
n
阶矩阵中除第
i
行,?/p>
i
列的元素?/p>
1
外,其余元素全为
0
的矩?/p>
.
?
ij
E
(
,
1,2,
,
1)
i
j
i
n
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
表示
n
阶矩阵中除第
i
行,
?/p>
j
列元素与?/p>
j
行第
i
列元素为
1
外,其余元素全为
0
的矩?/p>
.
显然?/p>
ii
E
?/p>
ij
E
都是对称矩阵?/p>
ii
E
?/p>
(
1)
2
n
n
?/p>
?/p>
.
不难证明
ii
E
?/p>
ij
E
是线性无关的?/p>
且任何一个对称矩阵都可用?/p>
n+
(
1)
2
n
n
?/p>
=
(
1)
2
n
n
?/p>
个矩阵线性表示,此即对称矩阵组成
(
1)
2
n
n
?/p>
维线性空?/p>
.
同样可证所?/p>
n
阶反对称矩阵组成的线性空间的维数?/p>
(
1)
2
n
n
?/p>
.
评注
:
欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一?/p>
(
1)
2
n
n
?/p>
维线性空间,只需找出
(
1)
2
n
n
?/p>
个向量线性无关,
并且集合中任何一个向量都可以用这
(
1)
2
n
n
?/p>
个向量线性表示即
?/p>
.
1-2
?/p>
:
1
1
2
2
3
3
4
4
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
解出
1
2
3
4
,
,
,
x
x
x
x
即可
.
1-3
解:
方法一
?/p>
1
1
2
2
3
3
4
4
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
A
E
E
E
E
?/p>
1
2
3
4
1
2
1
1
1
1
1
1
1
0
0
3
1
1
1
0
0
0
0
0
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
1
2
3
4
1
2
3
1
2
1
1
2
0
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?
于是
1
2
3
4
1
2
3
1
,
2
x
x
x
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
2
1
0,
3
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
解之?/p>
1
2
3
4
3,
3,
2,
1
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
A
?/p>
1
2
3
4
,
,
,
E
E
E
E
下的坐标?/p>
(3,
3,2,
1)
T
?/p>
?/p>
.