?/p>
1
?/p>
?/p>
5
?/p>
第三?/p>
直线与方?/p>
1
、直线倾斜角的概念?/p>
当直?/p>
l
?/p>
x
轴相交时
,
?/p>
x
轴作为基?/p>
,
x
轴正向与直线
l
向上方向之间所
成的角α叫做直?/p>
l
的倾斜?/p>
.
特别?/p>
,
当直?/p>
l
?/p>
x
轴平行或重合?/p>
,
规定α
= 0
°
.
2
?/p>
倾斜角α的取值范围:
0
°≤α<
180
°
.
当直?/p>
l
?/p>
x
轴垂直时
,
α
= 90
°
.
3
?/p>
直线的斜?/p>
:
⑴一条直线的倾斜角?/p>
(
α?/p>
90
°
)
的正切值叫做这条直线的斜率
,
常用小写字母
k
表示
,
也就?/p>
k = tan
α?/p>
①当直线
l
?/p>
x
轴平行或重合?/p>
,
α
=0
°
, k = tan0
°
=0;
②当直线
l
?/p>
x
轴垂直时
,
α
= 90
°
, k
不存?/p>
.
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
90
,
0
?/p>
?/p>
时,
0
?/p>
k
?/p>
k
随着α的增大而增大;
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
180
,
90
?/p>
?/p>
时,
0
?/p>
k
?/p>
k
随着α的增?
而增大;
?/p>
?
90
?/p>
?/p>
时,
k
不存在?/p>
由此可知
,
一条直?/p>
l
的倾斜角α一定存?/p>
,
但是斜率
k
不一定存?/p>
.
⑵过两点
)
,
(
)
,
(
2
2
2
1
1
1
y
x
P
y
x
P
?/p>
的直线的斜率公式?/p>
)
(
2
1
1
2
1
2
x
x
x
x
y
y
k
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
注意下面四点?/p>
(1)
?/p>
2
1
x
x
?/p>
时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为
90°
?/p>
(2)k
?/p>
2
1
P
P
?/p>
的顺序无关;
(3)
以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得?/p>
(4)
求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率,再求倾斜角?/p>
?/p>
三点共线的条件:
如果所给三点中任意两点的连线都有斜率且都相等,
那么这三点共线;
反之?/p>
?/p>
点共线,任意两点连线的斜率不一定相等。解决此类问题要先考虑斜率是否存在?/p>
4
、直线方程(注意各种直线方程之间的转化)
①直线的点斜式方程:
)
(
0
0
x
x
k
y
y
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
k
?/p>
直线的斜率,且过?/p>
?/p>
?/p>
0
0
,
y
x
?/p>
适用条件是不?/p>
?/p>
x
轴?/p>
注意?/p>
当直线的斜率?/p>
0
°时,
k=0
,直线的方程?/p>
0
y
y
?/p>
?/p>
当直线的斜率?/p>
90
°时,
直线的斜率不存在?/p>
它的方程不能用点斜式表示?/p>
但因
l
上每一点的
横坐标都等于
x
0
,所以它的方程是
x
=
x
0
?/p>
②斜截式?/p>
b
kx
y
?/p>
?/p>
?/p>
k
为直线的斜率,直线在
y
轴上的截距为
b
③两点式?
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
2
1
2
,
x
x
y
y
?/p>
?/p>
)直线两?/p>
?/p>
?/p>
1
1
,
y
x
?/p>
?/p>
?/p>
2
2
,
y
x
?/p>
截矩式:
1
x
y
a
b
?/p>
?/p>
,其中直?/p>
l
?/p>
x
轴交于点
(
,0)
a
,
?/p>
y
轴交于点
(0,
)
b
,
?/p>
l
?/p>
x
轴?/p>
y
?/p>
?/p>
截距
分别?/p>
,
a
b
?/p>
⑤一般式?
0
?/p>
?/p>
?/p>
C
By
Ax
?/p>
A
?/p>
B
不全?/p>
0
?/p>
注意?/p>
①在平时解题或高考解题时,所求出的直线方程,一般要求写成斜截式或一般式?/p>
②各式的适用范围
③特殊的方程如:
平行?/p>
x
轴的直线?/p>
b
y
?/p>
?/p>
b
为常数)
;平行于
y
轴的直线?/p>
a
x
?/p>
?/p>
a
为常数)
?/p>
5
、直线系方程:即具有某一共同性质的直?/p>
?/p>
1
)平行直线系
平行于已知直?/p>
0
0
0
0
?/p>
?/p>
?/p>
C
y
B
x
A
?/p>
0
0
,
B
A
是不全为
0
的常数)
的直线系?/p>
0
0
0
?/p>
?/p>
?/p>
C
y
B
x
A
?/p>
C
为常数)
,所以平行于已知直线
0
0
0
0
?/p>
?/p>
?/p>
C
y
B
x
A
的直线方程可设:
0
0
0
,
0
C
C
C
y
B
x
A
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
0
0
0
0
?/p>
?/p>
?/p>
C
y
B
x
A
?/p>
0
0
,
B
A
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
0
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
0
0
0
?/p>
?/p>
?/p>
C
y
A
x
B
?/p>
C
为常数)
?/p>
2
)过定点的直线系
①斜率为
k
的直线系?/p>
?/p>
?/p>
0
0
x
x
k
y
y
?/p>
?/p>
?/p>
,直线过定点
?/p>
?/p>
0
0
,
y
x
?/p>
②过两条直线
0
:
1
1
1
1
?/p>
?/p>
?/p>
C
y
B
x
A
l
?/p>
0
:
2
2
2
2
?/p>
?/p>
?/p>
C
y
B
x
A
l
的交点的直线系方程为
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
0
2
2
2
1
1
1
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
C
y
B
x
A
C
y
B
x
A
?/p>
?/p>
?/p>
为参数)
,其中直?/p>
2
l
不在直线系中?/p>
6
、两直线平行与垂?/p>
?/p>
1
)当
1
1
1
:
b
x
k
y
l
?/p>
?/p>
?/p>
2
2
2
:
b
x
k
y
l
?/p>
?/p>
时,
2
1
2
1
2
1
,
//
b
b
k
k
l
l
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
2
1
2
1
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
k
k
l
l
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否?/p>
?/p>
2
)当
0
:
1
1
1
1
?/p>
?/p>
?/p>
C
y
B
x
A
l
?/p>
0
:
2
2
2
2
?/p>
?/p>
?/p>
C
y
B
x
A
l
时,
0
B
0
//
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
C
B
C
B
A
B
A
l
l
?/p>
?/p>
0
2
1
2
1
2
1
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
B
B
A
A
l
l
例:
设直?/p>
1
l
经过?/p>
A(m
?/p>
1)
?/p>
B(
?/p>
3
?/p>
4)
,直?/p>
2
l
经过?/p>
C(1
?/p>
m)
?/p>
D(
?/p>
1
?/p>
m+1)
?/p>
?/p>
(1)
1
l
/ /
2
l
(2)
1
l
?/p>
2
l
时,分别求出
m
的?/p>
7
、两条直线的交点
?/p>
0
:
1
1
1
1
?/p>
?/p>
?/p>
C
y
B
x
A
l
0
:
2
2
2
2
?/p>
?/p>
?/p>
C
y
B
x
A
l
相交时,