1
提公因式法分解因式中的数学思想
众所周知?/p>
数学思想是我们数学解题的灵魂?/p>
因式分解也不例外?/p>
在因式分解过程中?/p>
蕴含着许多的数学思想?/p>
特别是提公因式法分解因式时,
如果能灵活的加以运用?/p>
往往能更
好地解决因式分解问题,下面就提公因式法因式分解中的常见的思想方法举例说明?/p>
一、整体思想
所谓用整体思想来分解因式,
就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分
?/p>
.
?/p>
1
?/p>
(
y
?/p>
5)
2
?/p>
y
(
y
?/p>
5)
分解因式
分析
:
?/p>
(
y
?/p>
5)
看作一个整体利用提公因式法进行因式分解
.
?/p>
:
原式?/p>
(
y
?/p>
5)[ (
y
?/p>
5)
?/p>
y
]
=-
5 (
y
?/p>
5).
评注
整体思想是将问题看成一个完整的整体?/p>
把注意力和着眼点放在问题的整体结?/p>
和结构改造上,从整体上把握问题的内容和解题的方向和策?/p>
.
运用整体思想解题,能使不
少复杂的问题简单化,抽象的问题具体?/p>
.
二、类比思想
类比思想地因式分解中的运用很广泛?/p>
具体地表现在?/p>
一是因式分解与整式乘法的对比;
二是因式分解与乘法的分配律的对比;三是因式分解与乘法公式的对?/p>
.
?/p>
2
把多项式
6
x
3
y
2
+12
x
2
y
3
?/p>
6
x
2
y
2
分解因式
.
分析
类比整式的乘法和乘法的分配律可知?/p>
6
?/p>
12
?/p>
6
的最大公约数?/p>
6
,字?/p>
x
?/p>
y
最低指数均?/p>
2
,所以多项式
6
x
3
y
2
+12
x
2
y
3
?/p>
6
x
2
y
2
的公因式?/p>
6
x
2
y
2
,这样再逆用乘法的分?/p>
律即可分解因?/p>
.
?/p>
6
x
3
y
2
+12
x
2
y
3
?/p>
6
x
2
y
2
?/p>
6
x
2
y
2
(
x
+
y
?/p>
1).
评注
求解问题若能通过类比,可使复杂问题简单化,陌生问题熟悉化
.
三、转化思想
转化思想就是对于某些多项式从表面是无法利用因式分解的一般步骤进行的?/p>
必须通过
适当的转化,如经过添项、拆项等变形,才能利用因式分解的有关方法进行
.
?/p>
3
把多项式
6
x
(
x
?/p>
y
)
2
?/p>
3(
y
?/p>
x
)
3
分解因式
.
分析
考虑
(
y
?/p>
x
)
3
=-
(
x
?/p>
y
)
3
则多项式转化?/p>
6
x
(
x
?/p>
y
)
2
?/p>
3(
y
?/p>
x
)
3
,因此公因式?
3(
x
?/p>
y
)
2
.
?/p>
6
x
(
x
?/p>
y
)
2
?/p>
3(
y
?/p>
x
)
3
?/p>
6
x
(
x
?/p>
y
)
2
?/p>
3(
x
?/p>
y
)
3