- 1 -
《数值分析》课程实验一:插值与拟合
一、实验目?/p>
1.
理解插值的基本原理,掌握多项式插值的概念、存在唯一性;
2.
编写
MA
TLAB
程序实现
Lagrange
插值和
Newton
插值,验证
Runge
现象?/p>
3.
通过比较不同次数的多项式拟合效果,理解多项式拟合的基本原理;
4.
编写
MA
TLAB
程序实现最小二乘多项式曲线拟合?/p>
二、实验内?/p>
1.
?/p>
Lagrange
插值和
Newton
插值找经过?/p>
(-3,
-1),
(0,
2),
(3,
-2),
(6,
10)
的三次插值公式,并编?/p>
MATLAB
程序绘制出三次插值公式的图形?/p>
2.
?/p>
]
5
,
5
[
,
1
1
)
(
2
?/p>
?/p>
?/p>
?
x
x
x
f
如果用等距节?/p>
x
i
= -5 + 10
i
/
n
(
i
= 0, 1, 2,
?/p>
,
n
)
上的
Lagrange
插值多项式
L
n
(
x
)
去逼近它?/p>
不妨?/p>
n
=
5
?/p>
n
= 10
,编?/p>
MATLAB
程序绘制?/p>
L
5
(
x
)
?/p>
L
10
(
x
)
的图像?/p>
3.
在某冶炼过程中,根据统计数据的含碳量与时间关系如下表,试求含碳量与时?/p>
t
的拟合曲线?/p>
t
(min)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
y
(×
10
-5
)
0
1.27
2.16
2.86
3.44
3.87
4.15
4.37
4.51
4.58
4.02
4.64
(1)
用最小二乘法进行曲线拟合?/p>
(2)
编写
MA
TLAB
程序绘制出曲线拟合图?/p>
三、实验步?/p>
1.
(1) Lagrange
插值法:在线性空?/p>
P
n
中找到满足条件:
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
j
i
j
i
x
l
ij
j
i
,
0
,
,
1
)
(
?/p>
的一组基函数
?/p>
?/p>
n
i
i
x
l
0
)
(
?/p>
?/p>
l
i
(
x
)
的表达式?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
n
i
j
j
j
i
j
i
n
i
x
x
x
x
x
l
,
0
)
,
,
1
,
0
(
)
(
?/p>
有了基函?/p>
?/p>
?/p>
n
i
i
x
l
0
)
(
?/p>
?/p>
n
次插值多项式就可表示?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
n
i
i
i
n
x
l
y
x
L
0
)
(
)
(
(2) Newton
插值法:设
x
0
,
x
1
,
?/p>
,
x
n
是一组互异的节点?/p>
y
i
=
f
(
x
i
) (
i
= 0, 1, 2,
?/p>
,
n
)
?/p>
f
(
x
)
在处?/p>
n
阶差
商定义为