突破?/p>
5
数列求和及其综合应用
(
对应学生用书?/p>
19
?/p>
)
[
核心知识提炼
]
提炼
1
a
n
?/p>
S
n
的关?/p>
?/p>
a
n
为数?/p>
{
a
n
}
的通项?/p>
S
n
为其?/p>
n
项和?/p>
则有
a
n
?/p>
?
?/p>
?
?/p>
?/p>
S
1
?/p>
n
?/p>
1
?
S
n
?/p>
S
n
?/p>
1
?/p>
n
?.
在使用这个关系式时,
一定要注意区分
n
?/p>
1
?/p>
n
?
两种情况,求出结果后,判断这两种情况能否整合在一?/p>
.
提炼
2
求数列通项常用的方?/p>
(1)
定义法:①形?/p>
a
n
?/p>
1
?/p>
a
n
?/p>
c
(
c
为常?/p>
)
,直接利用定义判断其为等差数列.②形?/p>
a
n
?/p>
1
?
ka
n
(
k
为非零常?/p>
)
且首项不为零,直接利用定义判断其为等比数列.
(2)
叠加法:形如
a
n
?/p>
1
?/p>
a
n
?/p>
f
(
n
)
,利?/p>
a
n
?/p>
a
1
?/p>
(
a
2
?/p>
a
1
)
?/p>
(
a
3
?/p>
a
2
)
+…+
(
a
n
?/p>
a
n
?/p>
1
)
,求其?/p>
项公式.
(3)
叠乘法:形如
a
n
?/p>
1
a
n
?/p>
f
(
n
)?,利?/p>
a
n
?/p>
a
1
·
a
2
a
1
·
a
3
a
2
·…?/p>
a
n
a
n
?/p>
1
,求其通项公式?/p>
(4)
待定系数法:形如
a
n
?/p>
1
?/p>
pa
n
?/p>
q
(
其中
p
?/p>
q
均为常数?/p>
pq
(
p
?)?),先用待定系数法?/p>
原递推公式转化?/p>
a
n
?/p>
1
?/p>
t
?/p>
p
(
a
n
?/p>
t
)
,其?/p>
t
?/p>
q
1
?/p>
p
,再转化为等比数列求解.
(5)
构造法:形?/p>
a
n
?/p>
1
?/p>
pa
n
?/p>
q
n
(
其中
p
?/p>
q
均为常数?/p>
pq
(
p
?)?),先在原递推公式两边?/p>
除以
q
n
?/p>
1
,得
a
n
?/p>
1
q
n
?/p>
1
?/p>
p
q
·
a
n
q
n
?/p>
1
q
,构造新数列
{
b
n
}
?
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
其中
b
n
?/p>
a
n
q
n
,得
b
n
?/p>
1
?/p>
p
q
·
b
n
?/p>
1
q
,接下来用待?/p>
系数法求解.
(6)
取对数法:形?/p>
a
n
?/p>
1
?/p>
pa
m
n
(
p
>0
?/p>
a
n
>0)
,先在原递推公式两边同时取对数,再利用待定系?/p>
法求?/p>
.
提炼
3
数列求和
数列求和的关键是分析其通项,数列的基本求和方法有公式法、裂
(
?/p>
)
项相消法、错位相?/p>
法、分组法、倒序相加法和并项法等,而裂项相消法,错位相减法是常用的两种方法
.
提炼
4
数列的综合问?/p>
数列综合问题的考查方式主要有三种:
(1)
判断数列问题中的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小,或者是借助数列对应
函数的单调性比较大小.
(2)
以数列为载体,考查不等式的恒成立问题,此类问题可转化为函数的最值问题.
(3)
考查与数列有关的不等式的证明问题,此类问题大多还要借助构造函数去证明,或者是?/p>
接利用放缩法证明或直接利用数学归纳法?/p>