华东师范大学
1997
年攻读硕士学位研究生入学试题
一?/p>
12
分)?/p>
f(x)
是区?/p>
I
上的连续函数。证明:?/p>
f(x)
为一一映射,则
f(x)
在区?/p>
I
上严格单调?/p>
二(
12
分)?/p>
证明:若
f(x), D(x)f(x)
在点
x=0
处都可导,且
f(0)=0,
?
'(0)
0
f
?/p>
三(
16
分)考察函数
f(x)=xlnx
的凸性,并由此证明不等式?/p>
四(
16
分)设级?
1
n
n
a
n
?
?/p>
?/p>
收敛,试?/p>
1
n
n
d
?
?/p>
?/p>
为正项级数和一般项级数两种
情况分别证明
1
n
n
a
n
n
?
?/p>
?/p>
?/p>
也收敛?/p>
五(
20
分)设方?/p>
(
,
)
0
F
x
y
?/p>
满足隐函数定理条件,并由此确定了隐函?
y=f(x)
。又?/p>
(
,
)
F
x
y
具有连续的二阶偏导数?/p>
?/p>
1
?/p>
?
''(
)
f
x
?/p>
2
?/p>
?/p>
0
0
0
0
(
,
)
0,
(
)
F
x
y
y
f
x
?/p>
?/p>
?/p>
f(x)
的一个极值,试证明:
?/p>
0
0
(
,
)
y
F
x
y
?/p>
0
0
(
,
)
xx
F
x
y
同号时,
0
(
)
f
x
为极大值;
?/p>
0
0
(
,
)
y
F
x
y
?/p>
0
0
(
,
)
xx
F
x
y
异号时,
0
(
)
f
x
为极小值?/p>
?/p>
3
?/p>
对方?/p>
2
2
27
x
xy
y
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
在隐函数形式?/p>
(不解出
y
?/p>
?/p>
y=f(x)
的极值,并用?/p>
2
)的结论判别极大或极小?/p>
六(
12
分)改变累次积分
的积分次序,并求其值?/p>
?/p>
?/p>
12
分)
计算曲面积分
2
2
2
(
cos
cos
cos
)
s
I
x
y
z
ds
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
s
?/p>
?/p>
?
2
2
z
x
y
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
0
z
h
?/p>
?/p>
?/p>
一
?/p>
?
?/p>
?/p>
c
o
s
,
c
o
s
,
c
o
s
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
s
的下侧法向的方向余弦?/p>
华东师范大学
1998
年攻读硕士学位研究生入学试题
一?/p>
简答题?/p>
20
分)
?/p>
1
?/p>
用定义验证:
2
2
3
2
3
lim
2
1
2
n
n
n
n
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>