1.41
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解(基础?/p>
【学习目标?/p>
1.
会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况,由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围;
2.
掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用
.
【要点梳理?/p>
知识点一、一元二次方程根的判别式
1.
一元二次方程根的判别式
一元二次方?/p>
)
0
(
0
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
a
c
bx
ax
中,
ac
b
4
2
?/p>
叫做一元二次方?/p>
)
0
(
0
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
a
c
bx
ax
的根的判
别式,通常用?/p>
?/p>
”来表示,即
ac
b
4
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
)当?/p>
>0
时,一元二次方程有
2
个不相等的实数根?/p>
?/p>
2
)当?/p>
=0
时,一元二次方程有
2
个相等的实数根;
?/p>
3
)当?/p>
<0
时,一元二次方程没有实数根
.
要点诠释?/p>
利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤:①把一元二次方程化为一般形式;②确?/p>
c
b
a
.
,
的值;
③计?/p>
ac
b
4
2
?/p>
的值;④根?/p>
ac
b
4
2
?/p>
的符号判定方程根的情?/p>
.
2.
一元二次方程根的判别式的逆用
在方?/p>
?/p>
?/p>
0
0
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
a
c
bx
ax
中,
?/p>
1
)方程有两个不相等的实数?/p>
?/p>
ac
b
4
2
?/p>
?/p>
0
?/p>
?/p>
2
)方程有两个相等的实数根
?/p>
ac
b
4
2
?/p>
=0
?/p>
?/p>
3
)方程没有实数根
?/p>
ac
b
4
2
?/p>
?/p>
0.
要点诠释?/p>
?/p>
1
)逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围,但不能忽略二次项系数不为
0
这一条件?/p>
?/p>
2
)若一元二次方程有两个实数根则
ac
b
4
2
?/p>
?/p>
0.
知识点二、一元二次方程的根与系数的关?/p>
1.
一元二次方程的根与系数的关?/p>
如果一元二次方?/p>
)
0
(
0
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
a
c
bx
ax
的两个实数根?/p>
2
1
x
x
?/p>
?/p>
那么
a
b
x
x
?
?/p>
?/p>
2
1
?/p>
a
c
x
x
?/p>
2
1
.
注意它的使用条件?/p>
a
?/p>
0
?/p>
Δ
?/p>
0.
也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所?
的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的?/p>
.
2.
一元二次方程的根与系数的关系的应用
(1)
验根.不解方程,利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根;
(2)
已知方程的一个根,求方程的另一根及未知系数?/p>
(3)
不解方程,可以利用根与系数的关系求关?/p>
x
1
?/p>
x
2
的对称式的值.此时,常常涉及代数式的一些重要变
形;如:
?/p>
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
x
x
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
1
2
1
2
1
2
1
1
x
x
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
x
x
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
4
x
x
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
2
(
)(
)
x
k
x
k
?/p>
?/p>
2
1
2
1
2
(
)
x
x
k
x
x
k
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
|
|
(
)
(
)
4
x
x
x
x
x
x
x
x
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
1
1
(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
4
x
x
x
x
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
|
|
|
|
(|
|
|
|)
+2
|
|
x
x
x
x
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
2
|
|
x
x
x
x
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
(4)
已知方程的两根,求作一个一元二次方程;
以两个数
为根的一元二次方程是
.
(5)
已知一元二次方程两根满足某种关系,确定方程中字母系数的值或取值范围;
?/p>
6
)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符?/p>
.
设一元二次方?/p>
2
0(
0)
ax
bx
c
a
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
的两根为
1
x
?/p>
2
x
,则
①当△≥
0
?/p>
1
2
0
x
x
?/p>
时,两根同号?/p>
当△?/p>
0
?/p>
1
2
0
x
x
?/p>
?/p>
1
2
0
x
x
?/p>
?/p>
时,两根同为正数?/p>
当△?/p>
0
?/p>
1
2
0
x
x
?/p>
?/p>
1
2
0
x
x
?/p>
?/p>
时,两根同为负数?/p>
②当△>
0
?/p>
1
2
0
x
x
?/p>
时,两根异号?/p>