1
专题复习
解三角形与平面向?/p>
1
?/p>
三角形的有关公式?/p>
(1)
在△
ABC
中:
sin(
A
?/p>
B
)
?/p>
?/p>
sin
A
?/p>
B
2
?/p>
(2)
正弦定理?/p>
(3)
余弦定理?/p>
_____________________________________________________________________
(4)
面积公式?/p>
S
?/p>
1
2
ah
a
?/p>
1
2
ab
sin
C
?/p>
1
2
r
(
a
?/p>
b
?/p>
c
)(
其中
r
为三角形内切圆半?/p>
)
?/p>
2
?/p>
平面向量的数量积
a
·
b
?/p>
.特别地?/p>
a
2
?/p>
a·
a
?/p>
|a|
2
?/p>
|a|
?/p>
a
2
.
?/p>
θ
为锐角时?/p>
a
·
b
>0
,且
a·
b
>0
?/p>
θ
为锐角的必要
非充分条件;?/p>
θ
为钝角时?/p>
a·
b
<0
,且
a·
b
<0
?/p>
θ
为钝角的必要非充分条件.
3
?/p>
b
?/p>
a
上的射影?/p>
|
b
|cos_
θ
?/p>
4
?/p>
平面向量坐标运算
?/p>
a
?/p>
(
x
1
?/p>
y
1
)
?/p>
b
?/p>
(
x
2
?/p>
y
2
)
,且
a
?/p>
0
?/p>
b
?/p>
0
,则?/p>
(1)
a·
b
?/p>
?/p>
(2)|
a
|
?/p>
?/p>
a
2
?/p>
|
a
|
2
?/p>
?/p>
(3)
a
?/p>
b
?/p>
a
?/p>
λ
b
?/p>
?/p>
0
?/p>
(4)
a
?/p>
b
?/p>
a
·
b
?/p>
0
?/p>
|
a
?/p>
b
|
?/p>
|
a
?/p>
b
|
?/p>
?/p>
0.
(5)
?/p>
a
?/p>
b
的夹角为
θ
,则
cos
θ
?/p>
?/p>
?/p>
5
?/p>
?/p>
ABC
中向量常用结?/p>
(1)
P
A
?/p>
?/p>
PB
?/p>
?/p>
PC
?/p>
?/p>
0
?/p>
P
为△
ABC
?/p>
?/p>
(2)
P
A
?/p>
·
PB
?/p>
?/p>
PB
?/p>
·
PC
?/p>
?/p>
PC
?/p>
·
P
A
?
?/p>
P
为△
ABC
?/p>
?/p>
(3)
向量
λ
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
AB
?/p>
|
AB
?/p>
|
?/p>
AC
?/p>
|
AC
?/p>
|
(
λ
?/p>
0)
所在直线过?/p>
ABC
?/p>
?/p>
(4)|
P
A
?/p>
|
?/p>
|
PB
?/p>
|
?/p>
|
PC
?/p>
|
?/p>
P
为△
ABC
?/p>
?/p>
考点一
解三角形
?/p>
1
?/p>
1
设△
ABC
的三个内?/p>
A
?/p>
B
?/p>
C
所对的边分别为
a
?/p>
b
?/p>
c
,若
b
?/p>
2
?/p>
B
?/p>
π
3
?/p>
C
?/p>
π
4
,则?/p>
ABC
的面?
?/p>
(
)A
?/p>
1
?/p>
3
3
B.
3
?/p>
1
C
?/p>
1
?/p>
3
3
D.
3
?/p>
1
?/p>
1
?/p>
2
?/p>
ABC
中,已知
3
b
?/p>
2
3
a
sin
B
,角
A
?/p>
B
?/p>
C
成等差数列,则△
ABC
的形状为
(
)
A
.直角三角形
B
.等腰三角形
C
.等边三角形
D
.等腰直角三角形
?/p>
1
?/p>
3
若△
ABC
的三个内角满?/p>
sin
A
?/p>
sin
B
?/p>
sin
C
?/p>
5
?/p>
11
?/p>
13
,则?/p>
ABC
(
)
A
.一定是锐角三角?/p>
B
.一定是直角三角?/p>
C
.一定是钝角三角?/p>
D
.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角?/p>
变式训练
?/p>
1
?/p>
1
?/p>
设△
ABC
的内?/p>
A
?/p>
B
?/p>
C
的对边分别为
a
?/p>
b
?/p>
c
.
?/p>
a
?/p>
2
?/p>
c
?/p>
2
3
?/p>
cos
A
?/p>
3
2
,且
b
<
c
,则
b
?/p>
(
)
A
?/p>
3
B
?/p>
2
2
C
?/p>
2
D.
3
?/p>
1
?/p>
2
?/p>
设△
ABC
的内?/p>
A
?/p>
B
?/p>
C
所对的边分别为
a
?/p>
b
?/p>
c
?/p>
?/p>
b
cos
C
?/p>
c
cos
B
?/p>
a
sin
A
?/p>
则△
ABC
的形状为
(
)
A
.直角三角形
B
.锐角三角形
C
.钝角三角形
D
.不确定
?/p>
1
?/p>
3
?/p>
在锐角△
ABC
中,
AB
?/p>
3
?/p>
AC
?/p>
4
?/p>
S
?/p>
ABC
?/p>
3
3
,则
BC
?/p>
(
)
A
?/p>
5
B.
13
?/p>
37
C.
37
D.
13
?/p>
1
?/p>
4
已知
A
?/p>
B
?/p>
C
分别为△
ABC
的三?/p>
a
?/p>
b
?/p>
c
所对的角,向量
m
?/p>
(sin
A
?/p>
sin
B
)
?/p>
n
?/p>
(cos
B
?/p>
cos
A
)
?
?/p>
m
·
n
?/p>
sin 2
C
.
(1)
求角
C
的大小;
(2)
?/p>
sin
A
?/p>
sin
C
?/p>
sin
B
成等差数列,?/p>
CA
?/p>
·
(
AB
?/p>
?/p>
AC
?
)
?/p>
18
,求?/p>
c
的长?/p>
变式训练
?/p>
1
?/p>
4
?/p>
(2015·
兰州诊断
)
在△
ABC
中,?/p>
A
?/p>
B
?/p>
C
所对的边分别为
a
?/p>
b
?/p>
c
,已?/p>
a
3cos
A
?/p>
c
sin
C
.
(1)
?/p>
A
的大小;
(2)
?/p>
a
?/p>
6
,求
b
?/p>
c
的取值范围.
?/p>
1
?/p>
5
?/p>
(2014·
黄冈模拟
)
?/p>
ABC
的外接圆的直径为
1
,三个内?/p>
A
?/p>
B
?/p>
C
的对边为
a
?/p>
b
?/p>
c
?/p>
m
?/p>
(
a
?/p>
cos
B
)
?/p>
n
?/p>
(cos
A
,-
b
)
?/p>
a
?/p>
b
,已?/p>
m
?/p>
n
.(1)
?/p>
sin
A
?/p>
sin
B
的取值范围;
(2)
?/p>
abx
?/p>
a
?/p>
b
,试确定实数
x
的取值范围.