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工具

1 

 

专题复习

 

解三角形与平面向?/p>

 

 

1

?/p>

三角形的有关公式?/p>

 

(1)

在△

ABC

中:

sin(

A

?/p>

B

)

?/p>

 

 

 

 

 

 

?/p>

sin

A

?/p>

B

2

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

(2)

正弦定理?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

余弦定理?/p>

 

 

 

_____________________________________________________________________ 

(4)

面积公式?/p>

S

?/p>

1

2

ah

a

?/p>

1

2

ab

sin 

C

?/p>

1

2

r

(

a

?/p>

b

?/p>

c

)(

其中

r

为三角形内切圆半?/p>

)

?/p>

 

2

?/p>

平面向量的数量积

 

a

·

b

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.特别地?/p>

a

2

?/p>

a·

a

?/p>

|a|

2

?/p>

|a|

?/p>

a

2

.

?/p>

θ

为锐角时?/p>

a

·

b

>0

,且

a·

b

>0

?/p>

θ

为锐角的必要

非充分条件;?/p>

θ

为钝角时?/p>

a·

b

<0

,且

a·

b

<0

?/p>

θ

为钝角的必要非充分条件.

 

3

?/p>

b

?/p>

a

上的射影?/p>

|

b

|cos_

θ

?/p>

 

4

?/p>

平面向量坐标运算

 

?/p>

a

?/p>

(

x

1

?/p>

y

1

)

?/p>

b

?/p>

(

x

2

?/p>

y

2

)

,且

a

?/p>

0

?/p>

b

?/p>

0

,则?/p>

(1)

a·

b

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

(2)|

a

|

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

a

2

?/p>

|

a

|

2

?/p>

 

 

 

 

 

 

?/p>

 

(3)

a

?/p>

b

?/p>

a

?/p>

λ

b

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

0

?/p>

(4)

a

?/p>

b

?/p>

a

·

b

?/p>

0

?/p>

|

a

?/p>

b

|

?/p>

|

a

?/p>

b

|

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

0. 

 

(5)

?/p>

a

?/p>

b

的夹角为

θ

,则

cos 

θ

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

 

5

?/p>

?/p>

ABC

中向量常用结?/p>

 

(1)

P

A

?/p>

?/p>

PB

?/p>

?/p>

PC

?/p>

?/p>

0

?/p>

P

为△

ABC

?/p>

 

 

 

 

 

 

?/p>

 

 

(2)

P

A

?/p>

·

PB

?/p>

?/p>

PB

?/p>

·

PC

?/p>

?/p>

PC

?/p>

·

P

A

?

?/p>

P

为△

ABC

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

 

(3)

向量

λ

?/p>

?/p>

?/p>

?

?/p>

?/p>

AB

?/p>

|

AB

?/p>

|

?/p>

AC

?/p>

|

AC

?/p>

|

(

λ

?/p>

0)

所在直线过?/p>

ABC

?/p>

 

 

 

 

 

 

?/p>

(4)|

P

A

?/p>

|

?/p>

|

PB

?/p>

|

?/p>

|

PC

?/p>

|

?/p>

P

为△

ABC

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

 

考点一

 

解三角形

 

?/p>

 

1

?/p>

1

设△

ABC

的三个内?/p>

A

?/p>

B

?/p>

C

所对的边分别为

a

?/p>

b

?/p>

c

,若

b

?/p>

2

?/p>

B

?/p>

π

3

?/p>

C

?/p>

π

4

,则?/p>

ABC

的面?

?/p>

(

 

 

)A

?/p>

1

?/p>

3

3

 

 

 

 

 

 

 

B.

3

?/p>

1 

 

 

 

 

 

 

C

?/p>

1

?/p>

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

D.

3

?/p>

1 

?/p>

 

1

?/p>

2

?/p>

ABC

中,已知

3

b

?/p>

2

3

a

sin 

B

,角

A

?/p>

B

?/p>

C

成等差数列,则△

ABC

的形状为

(

 

 

) 

A

.直角三角形

 

 

 

 

 

 

 

 

B

.等腰三角形

 

 

 

 

 

 

C

.等边三角形

 

 

 

 

 

 

 

 

D

.等腰直角三角形

 

?/p>

 

1

?/p>

3

若△

ABC

的三个内角满?/p>

sin 

A

?/p>

sin 

B

?/p>

sin 

C

?/p>

5

?/p>

11

?/p>

13

,则?/p>

ABC

(

 

 

) 

A

.一定是锐角三角?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

.一定是直角三角?/p>

 

C

.一定是钝角三角?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角?/p>

 

变式训练

?/p>

1

?/p>

1

?/p>

设△

ABC

的内?/p>

A

?/p>

B

?/p>

C

的对边分别为

a

?/p>

b

?/p>

c

.

?/p>

a

?/p>

2

?/p>

c

?/p>

2

3

?/p>

cos 

A

?/p>

3

2

,且

b

<

c

,则

b

?/p>

(

 

 

) 

 

 

 

 

A

?/p>

3 

 

 

 

 

 

B

?/p>

2

2 

 

 

 

 

 

 

C

?/p>

2 

 

 

 

 

 

 

 

D.

3 

?/p>

1

?/p>

2

?/p>

设△

ABC

的内?/p>

A

?/p>

B

?/p>

C

所对的边分别为

a

?/p>

b

?/p>

c

?/p>

?/p>

b

cos 

C

?/p>

c

cos 

B

?/p>

a

sin 

A

?/p>

则△

ABC

的形状为

(

 

 

) 

A

.直角三角形

 

 

 

 

 

B

.锐角三角形

 

 

 

 

C

.钝角三角形

 

 

 

 

 

D

.不确定

 

 

?/p>

1

?/p>

3

?/p>

在锐角△

ABC

中,

AB

?/p>

3

?/p>

AC

?/p>

4

?/p>

S

?/p>

ABC

?/p>

3

3

,则

BC

?/p>

(

 

 

) 

A

?/p>

5 

 

 

 

 

 

 

 

 

B.

13

?/p>

37

 

 

 

 

 

 

 

C.

37 

 

 

 

 

 

 

 

D.

13 

 

?/p>

 

1

?/p>

4

已知

A

?/p>

B

?/p>

C

分别为△

ABC

的三?/p>

a

?/p>

b

?/p>

c

所对的角,向量

m

?/p>

(sin 

A

?/p>

sin 

B

)

?/p>

n

?/p>

(cos 

B

?/p>

cos 

A

)

?

?/p>

m

·

n

?/p>

 

sin 2

C

. 

 

(1)

求角

C

的大小;

(2)

?/p>

sin 

A

?/p>

sin 

C

?/p>

sin 

B

成等差数列,?/p>

CA

?/p>

·

(

AB

?/p>

?/p>

AC

?

)

?/p>

18

,求?/p>

c

的长?/p>

 

 

 

 

 

 

变式训练

 

?/p>

1

?/p>

4

?/p>

 

(2015·

兰州诊断

)

在△

ABC

中,?/p>

A

?/p>

B

?/p>

C

所对的边分别为

a

?/p>

b

?/p>

c

,已?/p>

a

3cos 

A

?/p>

c

sin 

C

. 

(1)

?/p>

A

的大小;

 

 

(2)

?/p>

a

?/p>

6

,求

b

?/p>

c

的取值范围.

 

 

  

 

?/p>

1

?/p>

5

?/p>

 

(2014·

黄冈模拟

)

?/p>

ABC

的外接圆的直径为

1

,三个内?/p>

A

?/p>

B

?/p>

C

的对边为

a

?/p>

b

?/p>

c

?/p>

m

?/p>

(

a

?/p>

cos 

B

)

?/p>

n

?/p>

(cos 

A

,-

b

)

?/p>

a

?/p>

b

,已?/p>

m

?/p>

n

.(1)

?/p>

sin 

A

?/p>

sin 

B

的取值范围;

(2)

?/p>

abx

?/p>

a

?/p>

b

,试确定实数

x

的取值范围.

 

 

 

 

Ͼλ
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1 

 

专题复习

 

解三角形与平面向?/p>

 

 

1

?/p>

三角形的有关公式?/p>

 

(1)

在△

ABC

中:

sin(

A

?/p>

B

)

?/p>

 

 

 

 

 

 

?/p>

sin

A

?/p>

B

2

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

(2)

正弦定理?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

余弦定理?/p>

 

 

 

_____________________________________________________________________ 

(4)

面积公式?/p>

S

?/p>

1

2

ah

a

?/p>

1

2

ab

sin 

C

?/p>

1

2

r

(

a

?/p>

b

?/p>

c

)(

其中

r

为三角形内切圆半?/p>

)

?/p>

 

2

?/p>

平面向量的数量积

 

a

·

b

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.特别地?/p>

a

2

?/p>

a·

a

?/p>

|a|

2

?/p>

|a|

?/p>

a

2

.

?/p>

θ

为锐角时?/p>

a

·

b

>0

,且

a·

b

>0

?/p>

θ

为锐角的必要

非充分条件;?/p>

θ

为钝角时?/p>

a·

b

<0

,且

a·

b

<0

?/p>

θ

为钝角的必要非充分条件.

 

3

?/p>

b

?/p>

a

上的射影?/p>

|

b

|cos_

θ

?/p>

 

4

?/p>

平面向量坐标运算

 

?/p>

a

?/p>

(

x

1

?/p>

y

1

)

?/p>

b

?/p>

(

x

2

?/p>

y

2

)

,且

a

?/p>

0

?/p>

b

?/p>

0

,则?/p>

(1)

a·

b

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

(2)|

a

|

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

a

2

?/p>

|

a

|

2

?/p>

 

 

 

 

 

 

?/p>

 

(3)

a

?/p>

b

?/p>

a

?/p>

λ

b

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

0

?/p>

(4)

a

?/p>

b

?/p>

a

·

b

?/p>

0

?/p>

|

a

?/p>

b

|

?/p>

|

a

?/p>

b

|

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

0. 

 

(5)

?/p>

a

?/p>

b

的夹角为

θ

,则

cos 

θ

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

 

5

?/p>

?/p>

ABC

中向量常用结?/p>

 

(1)

P

A

?/p>

?/p>

PB

?/p>

?/p>

PC

?/p>

?/p>

0

?/p>

P

为△

ABC

?/p>

 

 

 

 

 

 

?/p>

 

 

(2)

P

A

?/p>

·

PB

?/p>

?/p>

PB

?/p>

·

PC

?/p>

?/p>

PC

?/p>

·

P

A

?

?/p>

P

为△

ABC

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

 

(3)

向量

λ

?/p>

?/p>

?/p>

?

?/p>

?/p>

AB

?/p>

|

AB

?/p>

|

?/p>

AC

?/p>

|

AC

?/p>

|

(

λ

?/p>

0)

所在直线过?/p>

ABC

?/p>

 

 

 

 

 

 

?/p>

(4)|

P

A

?/p>

|

?/p>

|

PB

?/p>

|

?/p>

|

PC

?/p>

|

?/p>

P

为△

ABC

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

 

考点一

 

解三角形

 

?/p>

 

1

?/p>

1

设△

ABC

的三个内?/p>

A

?/p>

B

?/p>

C

所对的边分别为

a

?/p>

b

?/p>

c

,若

b

?/p>

2

?/p>

B

?/p>

π

3

?/p>

C

?/p>

π

4

,则?/p>

ABC

的面?

?/p>

(

 

 

)A

?/p>

1

?/p>

3

3

 

 

 

 

 

 

 

B.

3

?/p>

1 

 

 

 

 

 

 

C

?/p>

1

?/p>

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

D.

3

?/p>

1 

?/p>

 

1

?/p>

2

?/p>

ABC

中,已知

3

b

?/p>

2

3

a

sin 

B

,角

A

?/p>

B

?/p>

C

成等差数列,则△

ABC

的形状为

(

 

 

) 

A

.直角三角形

 

 

 

 

 

 

 

 

B

.等腰三角形

 

 

 

 

 

 

C

.等边三角形

 

 

 

 

 

 

 

 

D

.等腰直角三角形

 

?/p>

 

1

?/p>

3

若△

ABC

的三个内角满?/p>

sin 

A

?/p>

sin 

B

?/p>

sin 

C

?/p>

5

?/p>

11

?/p>

13

,则?/p>

ABC

(

 

 

) 

A

.一定是锐角三角?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

.一定是直角三角?/p>

 

C

.一定是钝角三角?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角?/p>

 

变式训练

?/p>

1

?/p>

1

?/p>

设△

ABC

的内?/p>

A

?/p>

B

?/p>

C

的对边分别为

a

?/p>

b

?/p>

c

.

?/p>

a

?/p>

2

?/p>

c

?/p>

2

3

?/p>

cos 

A

?/p>

3

2

,且

b

<

c

,则

b

?/p>

(

 

 

) 

 

 

 

 

A

?/p>

3 

 

 

 

 

 

B

?/p>

2

2 

 

 

 

 

 

 

C

?/p>

2 

 

 

 

 

 

 

 

D.

3 

?/p>

1

?/p>

2

?/p>

设△

ABC

的内?/p>

A

?/p>

B

?/p>

C

所对的边分别为

a

?/p>

b

?/p>

c

?/p>

?/p>

b

cos 

C

?/p>

c

cos 

B

?/p>

a

sin 

A

?/p>

则△

ABC

的形状为

(

 

 

) 

A

.直角三角形

 

 

 

 

 

B

.锐角三角形

 

 

 

 

C

.钝角三角形

 

 

 

 

 

D

.不确定

 

 

?/p>

1

?/p>

3

?/p>

在锐角△

ABC

中,

AB

?/p>

3

?/p>

AC

?/p>

4

?/p>

S

?/p>

ABC

?/p>

3

3

,则

BC

?/p>

(

 

 

) 

A

?/p>

5 

 

 

 

 

 

 

 

 

B.

13

?/p>

37

 

 

 

 

 

 

 

C.

37 

 

 

 

 

 

 

 

D.

13 

 

?/p>

 

1

?/p>

4

已知

A

?/p>

B

?/p>

C

分别为△

ABC

的三?/p>

a

?/p>

b

?/p>

c

所对的角,向量

m

?/p>

(sin 

A

?/p>

sin 

B

)

?/p>

n

?/p>

(cos 

B

?/p>

cos 

A

)

?

?/p>

m

·

n

?/p>

 

sin 2

C

. 

 

(1)

求角

C

的大小;

(2)

?/p>

sin 

A

?/p>

sin 

C

?/p>

sin 

B

成等差数列,?/p>

CA

?/p>

·

(

AB

?/p>

?/p>

AC

?

)

?/p>

18

,求?/p>

c

的长?/p>

 

 

 

 

 

 

变式训练

 

?/p>

1

?/p>

4

?/p>

 

(2015·

兰州诊断

)

在△

ABC

中,?/p>

A

?/p>

B

?/p>

C

所对的边分别为

a

?/p>

b

?/p>

c

,已?/p>

a

3cos 

A

?/p>

c

sin 

C

. 

(1)

?/p>

A

的大小;

 

 

(2)

?/p>

a

?/p>

6

,求

b

?/p>

c

的取值范围.

 

 

  

 

?/p>

1

?/p>

5

?/p>

 

(2014·

黄冈模拟

)

?/p>

ABC

的外接圆的直径为

1

,三个内?/p>

A

?/p>

B

?/p>

C

的对边为

a

?/p>

b

?/p>

c

?/p>

m

?/p>

(

a

?/p>

cos 

B

)

?/p>

n

?/p>

(cos 

A

,-

b

)

?/p>

a

?/p>

b

,已?/p>

m

?/p>

n

.(1)

?/p>

sin 

A

?/p>

sin 

B

的取值范围;

(2)

?/p>

abx

?/p>

a

?/p>

b

,试确定实数

x

的取值范围.

 

 

 

 

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1 

 

专题复习

 

解三角形与平面向?/p>

 

 

1

?/p>

三角形的有关公式?/p>

 

(1)

在△

ABC

中:

sin(

A

?/p>

B

)

?/p>

 

 

 

 

 

 

?/p>

sin

A

?/p>

B

2

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

(2)

正弦定理?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

余弦定理?/p>

 

 

 

_____________________________________________________________________ 

(4)

面积公式?/p>

S

?/p>

1

2

ah

a

?/p>

1

2

ab

sin 

C

?/p>

1

2

r

(

a

?/p>

b

?/p>

c

)(

其中

r

为三角形内切圆半?/p>

)

?/p>

 

2

?/p>

平面向量的数量积

 

a

·

b

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.特别地?/p>

a

2

?/p>

a·

a

?/p>

|a|

2

?/p>

|a|

?/p>

a

2

.

?/p>

θ

为锐角时?/p>

a

·

b

>0

,且

a·

b

>0

?/p>

θ

为锐角的必要

非充分条件;?/p>

θ

为钝角时?/p>

a·

b

<0

,且

a·

b

<0

?/p>

θ

为钝角的必要非充分条件.

 

3

?/p>

b

?/p>

a

上的射影?/p>

|

b

|cos_

θ

?/p>

 

4

?/p>

平面向量坐标运算

 

?/p>

a

?/p>

(

x

1

?/p>

y

1

)

?/p>

b

?/p>

(

x

2

?/p>

y

2

)

,且

a

?/p>

0

?/p>

b

?/p>

0

,则?/p>

(1)

a·

b

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

(2)|

a

|

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

a

2

?/p>

|

a

|

2

?/p>

 

 

 

 

 

 

?/p>

 

(3)

a

?/p>

b

?/p>

a

?/p>

λ

b

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

0

?/p>

(4)

a

?/p>

b

?/p>

a

·

b

?/p>

0

?/p>

|

a

?/p>

b

|

?/p>

|

a

?/p>

b

|

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

0. 

 

(5)

?/p>

a

?/p>

b

的夹角为

θ

,则

cos 

θ

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

 

5

?/p>

?/p>

ABC

中向量常用结?/p>

 

(1)

P

A

?/p>

?/p>

PB

?/p>

?/p>

PC

?/p>

?/p>

0

?/p>

P

为△

ABC

?/p>

 

 

 

 

 

 

?/p>

 

 

(2)

P

A

?/p>

·

PB

?/p>

?/p>

PB

?/p>

·

PC

?/p>

?/p>

PC

?/p>

·

P

A

?

?/p>

P

为△

ABC

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

 

(3)

向量

λ

?/p>

?/p>

?/p>

?

?/p>

?/p>

AB

?/p>

|

AB

?/p>

|

?/p>

AC

?/p>

|

AC

?/p>

|

(

λ

?/p>

0)

所在直线过?/p>

ABC

?/p>

 

 

 

 

 

 

?/p>

(4)|

P

A

?/p>

|

?/p>

|

PB

?/p>

|

?/p>

|

PC

?/p>

|

?/p>

P

为△

ABC

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

 

考点一

 

解三角形

 

?/p>

 

1

?/p>

1

设△

ABC

的三个内?/p>

A

?/p>

B

?/p>

C

所对的边分别为

a

?/p>

b

?/p>

c

,若

b

?/p>

2

?/p>

B

?/p>

π

3

?/p>

C

?/p>

π

4

,则?/p>

ABC

的面?

?/p>

(

 

 

)A

?/p>

1

?/p>

3

3

 

 

 

 

 

 

 

B.

3

?/p>

1 

 

 

 

 

 

 

C

?/p>

1

?/p>

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

D.

3

?/p>

1 

?/p>

 

1

?/p>

2

?/p>

ABC

中,已知

3

b

?/p>

2

3

a

sin 

B

,角

A

?/p>

B

?/p>

C

成等差数列,则△

ABC

的形状为

(

 

 

) 

A

.直角三角形

 

 

 

 

 

 

 

 

B

.等腰三角形

 

 

 

 

 

 

C

.等边三角形

 

 

 

 

 

 

 

 

D

.等腰直角三角形

 

?/p>

 

1

?/p>

3

若△

ABC

的三个内角满?/p>

sin 

A

?/p>

sin 

B

?/p>

sin 

C

?/p>

5

?/p>

11

?/p>

13

,则?/p>

ABC

(

 

 

) 

A

.一定是锐角三角?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

.一定是直角三角?/p>

 

C

.一定是钝角三角?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角?/p>

 

变式训练

?/p>

1

?/p>

1

?/p>

设△

ABC

的内?/p>

A

?/p>

B

?/p>

C

的对边分别为

a

?/p>

b

?/p>

c

.

?/p>

a

?/p>

2

?/p>

c

?/p>

2

3

?/p>

cos 

A

?/p>

3

2

,且

b

<

c

,则

b

?/p>

(

 

 

) 

 

 

 

 

A

?/p>

3 

 

 

 

 

 

B

?/p>

2

2 

 

 

 

 

 

 

C

?/p>

2 

 

 

 

 

 

 

 

D.

3 

?/p>

1

?/p>

2

?/p>

设△

ABC

的内?/p>

A

?/p>

B

?/p>

C

所对的边分别为

a

?/p>

b

?/p>

c

?/p>

?/p>

b

cos 

C

?/p>

c

cos 

B

?/p>

a

sin 

A

?/p>

则△

ABC

的形状为

(

 

 

) 

A

.直角三角形

 

 

 

 

 

B

.锐角三角形

 

 

 

 

C

.钝角三角形

 

 

 

 

 

D

.不确定

 

 

?/p>

1

?/p>

3

?/p>

在锐角△

ABC

中,

AB

?/p>

3

?/p>

AC

?/p>

4

?/p>

S

?/p>

ABC

?/p>

3

3

,则

BC

?/p>

(

 

 

) 

A

?/p>

5 

 

 

 

 

 

 

 

 

B.

13

?/p>

37

 

 

 

 

 

 

 

C.

37 

 

 

 

 

 

 

 

D.

13 

 

?/p>

 

1

?/p>

4

已知

A

?/p>

B

?/p>

C

分别为△

ABC

的三?/p>

a

?/p>

b

?/p>

c

所对的角,向量

m

?/p>

(sin 

A

?/p>

sin 

B

)

?/p>

n

?/p>

(cos 

B

?/p>

cos 

A

)

?

?/p>

m

·

n

?/p>

 

sin 2

C

. 

 

(1)

求角

C

的大小;

(2)

?/p>

sin 

A

?/p>

sin 

C

?/p>

sin 

B

成等差数列,?/p>

CA

?/p>

·

(

AB

?/p>

?/p>

AC

?

)

?/p>

18

,求?/p>

c

的长?/p>

 

 

 

 

 

 

变式训练

 

?/p>

1

?/p>

4

?/p>

 

(2015·

兰州诊断

)

在△

ABC

中,?/p>

A

?/p>

B

?/p>

C

所对的边分别为

a

?/p>

b

?/p>

c

,已?/p>

a

3cos 

A

?/p>

c

sin 

C

. 

(1)

?/p>

A

的大小;

 

 

(2)

?/p>

a

?/p>

6

,求

b

?/p>

c

的取值范围.

 

 

  

 

?/p>

1

?/p>

5

?/p>

 

(2014·

黄冈模拟

)

?/p>

ABC

的外接圆的直径为

1

,三个内?/p>

A

?/p>

B

?/p>

C

的对边为

a

?/p>

b

?/p>

c

?/p>

m

?/p>

(

a

?/p>

cos 

B

)

?/p>

n

?/p>

(cos 

A

,-

b

)

?/p>

a

?/p>

b

,已?/p>

m

?/p>

n

.(1)

?/p>

sin 

A

?/p>

sin 

B

的取值范围;

(2)

?/p>

abx

?/p>

a

?/p>

b

,试确定实数

x

的取值范围.

 

 

 

 

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Ŀ

专题复习解三角形与平面向?- 百度文库
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1 

 

专题复习

 

解三角形与平面向?/p>

 

 

1

?/p>

三角形的有关公式?/p>

 

(1)

在△

ABC

中:

sin(

A

?/p>

B

)

?/p>

 

 

 

 

 

 

?/p>

sin

A

?/p>

B

2

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

(2)

正弦定理?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

余弦定理?/p>

 

 

 

_____________________________________________________________________ 

(4)

面积公式?/p>

S

?/p>

1

2

ah

a

?/p>

1

2

ab

sin 

C

?/p>

1

2

r

(

a

?/p>

b

?/p>

c

)(

其中

r

为三角形内切圆半?/p>

)

?/p>

 

2

?/p>

平面向量的数量积

 

a

·

b

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.特别地?/p>

a

2

?/p>

a·

a

?/p>

|a|

2

?/p>

|a|

?/p>

a

2

.

?/p>

θ

为锐角时?/p>

a

·

b

>0

,且

a·

b

>0

?/p>

θ

为锐角的必要

非充分条件;?/p>

θ

为钝角时?/p>

a·

b

<0

,且

a·

b

<0

?/p>

θ

为钝角的必要非充分条件.

 

3

?/p>

b

?/p>

a

上的射影?/p>

|

b

|cos_

θ

?/p>

 

4

?/p>

平面向量坐标运算

 

?/p>

a

?/p>

(

x

1

?/p>

y

1

)

?/p>

b

?/p>

(

x

2

?/p>

y

2

)

,且

a

?/p>

0

?/p>

b

?/p>

0

,则?/p>

(1)

a·

b

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

(2)|

a

|

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

a

2

?/p>

|

a

|

2

?/p>

 

 

 

 

 

 

?/p>

 

(3)

a

?/p>

b

?/p>

a

?/p>

λ

b

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

0

?/p>

(4)

a

?/p>

b

?/p>

a

·

b

?/p>

0

?/p>

|

a

?/p>

b

|

?/p>

|

a

?/p>

b

|

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

0. 

 

(5)

?/p>

a

?/p>

b

的夹角为

θ

,则

cos 

θ

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

 

5

?/p>

?/p>

ABC

中向量常用结?/p>

 

(1)

P

A

?/p>

?/p>

PB

?/p>

?/p>

PC

?/p>

?/p>

0

?/p>

P

为△

ABC

?/p>

 

 

 

 

 

 

?/p>

 

 

(2)

P

A

?/p>

·

PB

?/p>

?/p>

PB

?/p>

·

PC

?/p>

?/p>

PC

?/p>

·

P

A

?

?/p>

P

为△

ABC

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

 

(3)

向量

λ

?/p>

?/p>

?/p>

?

?/p>

?/p>

AB

?/p>

|

AB

?/p>

|

?/p>

AC

?/p>

|

AC

?/p>

|

(

λ

?/p>

0)

所在直线过?/p>

ABC

?/p>

 

 

 

 

 

 

?/p>

(4)|

P

A

?/p>

|

?/p>

|

PB

?/p>

|

?/p>

|

PC

?/p>

|

?/p>

P

为△

ABC

?/p>

 

 

 

 

 

 

 

?/p>

 

考点一

 

解三角形

 

?/p>

 

1

?/p>

1

设△

ABC

的三个内?/p>

A

?/p>

B

?/p>

C

所对的边分别为

a

?/p>

b

?/p>

c

,若

b

?/p>

2

?/p>

B

?/p>

π

3

?/p>

C

?/p>

π

4

,则?/p>

ABC

的面?

?/p>

(

 

 

)A

?/p>

1

?/p>

3

3

 

 

 

 

 

 

 

B.

3

?/p>

1 

 

 

 

 

 

 

C

?/p>

1

?/p>

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

D.

3

?/p>

1 

?/p>

 

1

?/p>

2

?/p>

ABC

中,已知

3

b

?/p>

2

3

a

sin 

B

,角

A

?/p>

B

?/p>

C

成等差数列,则△

ABC

的形状为

(

 

 

) 

A

.直角三角形

 

 

 

 

 

 

 

 

B

.等腰三角形

 

 

 

 

 

 

C

.等边三角形

 

 

 

 

 

 

 

 

D

.等腰直角三角形

 

?/p>

 

1

?/p>

3

若△

ABC

的三个内角满?/p>

sin 

A

?/p>

sin 

B

?/p>

sin 

C

?/p>

5

?/p>

11

?/p>

13

,则?/p>

ABC

(

 

 

) 

A

.一定是锐角三角?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

.一定是直角三角?/p>

 

C

.一定是钝角三角?/p>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角?/p>

 

变式训练

?/p>

1

?/p>

1

?/p>

设△

ABC

的内?/p>

A

?/p>

B

?/p>

C

的对边分别为

a

?/p>

b

?/p>

c

.

?/p>

a

?/p>

2

?/p>

c

?/p>

2

3

?/p>

cos 

A

?/p>

3

2

,且

b

<

c

,则

b

?/p>

(

 

 

) 

 

 

 

 

A

?/p>

3 

 

 

 

 

 

B

?/p>

2

2 

 

 

 

 

 

 

C

?/p>

2 

 

 

 

 

 

 

 

D.

3 

?/p>

1

?/p>

2

?/p>

设△

ABC

的内?/p>

A

?/p>

B

?/p>

C

所对的边分别为

a

?/p>

b

?/p>

c

?/p>

?/p>

b

cos 

C

?/p>

c

cos 

B

?/p>

a

sin 

A

?/p>

则△

ABC

的形状为

(

 

 

) 

A

.直角三角形

 

 

 

 

 

B

.锐角三角形

 

 

 

 

C

.钝角三角形

 

 

 

 

 

D

.不确定

 

 

?/p>

1

?/p>

3

?/p>

在锐角△

ABC

中,

AB

?/p>

3

?/p>

AC

?/p>

4

?/p>

S

?/p>

ABC

?/p>

3

3

,则

BC

?/p>

(

 

 

) 

A

?/p>

5 

 

 

 

 

 

 

 

 

B.

13

?/p>

37

 

 

 

 

 

 

 

C.

37 

 

 

 

 

 

 

 

D.

13 

 

?/p>

 

1

?/p>

4

已知

A

?/p>

B

?/p>

C

分别为△

ABC

的三?/p>

a

?/p>

b

?/p>

c

所对的角,向量

m

?/p>

(sin 

A

?/p>

sin 

B

)

?/p>

n

?/p>

(cos 

B

?/p>

cos 

A

)

?

?/p>

m

·

n

?/p>

 

sin 2

C

. 

 

(1)

求角

C

的大小;

(2)

?/p>

sin 

A

?/p>

sin 

C

?/p>

sin 

B

成等差数列,?/p>

CA

?/p>

·

(

AB

?/p>

?/p>

AC

?

)

?/p>

18

,求?/p>

c

的长?/p>

 

 

 

 

 

 

变式训练

 

?/p>

1

?/p>

4

?/p>

 

(2015·

兰州诊断

)

在△

ABC

中,?/p>

A

?/p>

B

?/p>

C

所对的边分别为

a

?/p>

b

?/p>

c

,已?/p>

a

3cos 

A

?/p>

c

sin 

C

. 

(1)

?/p>

A

的大小;

 

 

(2)

?/p>

a

?/p>

6

,求

b

?/p>

c

的取值范围.

 

 

  

 

?/p>

1

?/p>

5

?/p>

 

(2014·

黄冈模拟

)

?/p>

ABC

的外接圆的直径为

1

,三个内?/p>

A

?/p>

B

?/p>

C

的对边为

a

?/p>

b

?/p>

c

?/p>

m

?/p>

(

a

?/p>

cos 

B

)

?/p>

n

?/p>

(cos 

A

,-

b

)

?/p>

a

?/p>

b

,已?/p>

m

?/p>

n

.(1)

?/p>

sin 

A

?/p>

sin 

B

的取值范围;

(2)

?/p>

abx

?/p>

a

?/p>

b

,试确定实数

x

的取值范围.

 

 

 

 



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