2019-2020
年中考数学总复习名师讲义—两圆外切的性质与应?/p>
两圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种关系,当相切的两个圆,除了切点
外,每个圆上的点都各在另一个圆的外部时,我们称这两个圆外切。而且外切关系是两圆位?/p>
关系中比较重要的一种关系,它具有的性质较多?/p>
性质?/p>
1
?/p>
外切两圆的连心线必经过它们的切点,且两个圆心之间的距?/p>
d
(圆心距?/p>
等于两个圆的半径之和,即
d=R+r
两圆外切,其中任一个圆的过两圆切点的切线,也必是另一个圆的切线,也就是说?/p>
两个圆心及切点这三点共线?/p>
?/p>
1
若两圆半径分别为
R
?/p>
r(R
?/p>
r)
,其圆心距为
d,
?/p>
Rr
2
r
d
R
2
2
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,则两圆的位置关
系是
__________.
解:因为
,
Rr
2
r
d
R
2
2
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
所?/p>
,
d
r
Rr
2
R
2
2
2
?/p>
?/p>
?/p>
所?/p>
,
d
r
R
,
d
)
r
R
(
2
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
所?/p>
所?/p>
d=R+r(R+r=-d
不合题意
).
因此两圆的位置关系是外切
.
二、外切的两圆,共有三条公切线,其中两条是外公切线,一条是内公切线,内公切线过两圆
的切点且垂直于它们的连心线?/p>
如图
1
,半径为
r
?/p>
R
的⊙
?/p>
1
O
?/p>
2
O
外切,外公切?/p>
AB
分别切⊙
?/p>
1
O
?/p>
2
O
?/p>
A
?/p>
B
,那?/p>
AB
就是外公切线长。连
A
?/p>
O
1
B
O
2
,由切线性质?/p>
.
C
O
B
O
O
,
AB
B
O
,
AB
A
O
1
2
1
2
1
垂直
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
可证得四边形
ABCD
为矩形,?/p>
r
A
O
BC
,
AB
C
O
1
1
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
因此?/p>
r
R
C
O
2
?/p>
?/p>
?/p>
而在
Rt
Δ
?/p>
C
O
O
2
1
?/p>
,
r
R
C
O
,
r
R
O
O
2
2
1
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
.
Rr
2
Rr
4
)
r
R
(
)
r
R
(
C
O
O
O
C
O
AB
2
2
2
2
2
2
1
1
于是?/p>
于是
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
性质
(2)
外公切线长等?/p>
Rr
2
两圆外切
,
经常添的辅助线是内公切线
,
因为内公切线可以产生两圆相等的弦切角
,
可将两圆
的元素联系起?/p>
.
性质
(3)
添内公切线是解决两圆外切问题的金钥匙
.
?/p>
2
已知如图
2,
?/p>
?/p>
1
O
?/p>
2
O
外切于点
C,PA
切⊙
2
O
于点
A,
交⊙
1
O
于点
P
?/p>
D
,直?/p>
PC
?/p>
?/p>
2
O
于点
B
?/p>
求证?/p>
AC
平分∠BCD?/p>
解:?/p>
C
作⊙
?/p>
1
O
?/p>
2
O
的内公切?/p>
`MN
?/p>
AP
?/p>
M
,所以∠MCD=∠P.
?/p>
PA
切⊙
2
O
于点
A,
所以∠MAC=∠ACM,