距离空间、线性赋范空间、内积空间的理解
及其区别
从初中开始,
我们就接触到了绝对值的概念?/p>
在以往学习过的实数域中?/p>
绝对值为一?/p>
非负的标量,
表示某个数到
0
的长度?/p>
而在学完向量的计算后我们知道?/p>
绝对值为向量的模?/p>
即向量的长度。扩展到现代数学,绝对值不止应用于实数域、向量计算,还适用于点列、函
数等,由此也就引出了距离的概念?/p>
?/p>
X
是任一集合
,
,
x
y
X
?/p>
?/p>
?/p>
按照一定的法则确定一个函?/p>
?/p>
?/p>
,
d
x
y
?/p>
这个函数满足
定义?/p>
X
X
?/p>
,且满足?/p>
1.
非负性:
?/p>
?/p>
,
0
d
x
y
?/p>
,且
?/p>
?/p>
,
=0
d
x
y
的充要条件是
x
y
?/p>
?/p>
2.
对称性:
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?/p>
?/p>
?/p>
,
=
,
d
x
y
d
y
x
?/p>
3.
三角不等式:
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?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,
,
,
d
x
y
d
x
z
d
z
y
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
z
X
?/p>
?/p>
?/p>
则称
X
为一个距离空间,
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?/p>
,
d
x
y
为空间中
,
x
y
之间的距离?/p>
有距离空间的定义可以发现?/p>
距离空间中的距离是一个二元函数,
他可以简单地理解?/p>
x
?/p>
y
之间的长度,?/p>
?/p>
?/p>
,
=
d
x
y
x
y
?/p>
?/p>
我们定义距离空间实际上是为了在空间这个概念上定义收敛?/p>
若点?/p>
?/p>
?/p>
n
x
X
?/p>
?/p>
x
X
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
n
x
收敛?/p>
X
可以定义?/p>
?/p>
?/p>
,
0
n
d
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
n
?/p>
?/p>
线性空间是具有线性结构的空间?/p>
他在空间上定义了加法和数乘运算?/p>
这就表示空间?/p>
的所有点都可以用一组基通过加法和数乘线性表示出来?/p>
转化到图像上就是线性空间可以表
示某一点的位置?/p>
有一种特殊的线性空间叫做向量空间,
向量空间可以表示起始点在原点?/p>
向量?/p>
若想知道两个向量相加的和向量或者向量数乘之后的向量长度?/p>
则需要引入范数的?/p>
念?/p>
范数可以近似理解为向量的长或者确定点到原点的距离?/p>
引入范数的线性空间称作线?/p>
赋范空间。定义为?/p>
X
为一线性空间,
x
X
?/p>
?/p>
,定义实值函?/p>
x
满足?/p>
1.
非负性:
0
x
?/p>
,且
=0
=0
x
x
?/p>
?/p>
2.
齐次性:
=
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
3.
三角函数?/p>
+
x
y
x
y
?/p>
?/p>
?/p>
则称
x
?/p>
X
的范数,
X
为线性赋范空间?/p>
对比距离空间和线性赋范空间的定义可以发现?/p>
线性赋范空间是在距离空间的基础上增