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距离空间、线性赋范空间、内积空间的理解

及其区别

 

从初中开始,

我们就接触到了绝对值的概念?/p>

在以往学习过的实数域中?/p>

绝对值为一?/p>

非负的标量,

表示某个数到

0

的长度?/p>

而在学完向量的计算后我们知道?/p>

绝对值为向量的模?/p>

即向量的长度。扩展到现代数学,绝对值不止应用于实数域、向量计算,还适用于点列、函

数等,由此也就引出了距离的概念?/p>

 

?/p>

X

是任一集合

, 

,

x

y

X

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按照一定的法则确定一个函?/p>

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,

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x

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这个函数满足

定义?/p>

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X

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,且满足?/p>

 

1.

 

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2.

 

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则称

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为一个距离空间,

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,

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为空间中

,

x

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之间的距离?/p>

 

有距离空间的定义可以发现?/p>

距离空间中的距离是一个二元函数,

他可以简单地理解?/p>

x

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之间的长度,?/p>

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我们定义距离空间实际上是为了在空间这个概念上定义收敛?/p>

若点?/p>

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线性空间是具有线性结构的空间?/p>

他在空间上定义了加法和数乘运算?/p>

这就表示空间?/p>

的所有点都可以用一组基通过加法和数乘线性表示出来?/p>

转化到图像上就是线性空间可以表

示某一点的位置?/p>

有一种特殊的线性空间叫做向量空间,

向量空间可以表示起始点在原点?/p>

向量?/p>

若想知道两个向量相加的和向量或者向量数乘之后的向量长度?/p>

则需要引入范数的?/p>

念?/p>

范数可以近似理解为向量的长或者确定点到原点的距离?/p>

引入范数的线性空间称作线?/p>

赋范空间。定义为?/p>

 

X

为一线性空间,

x

X

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,定义实值函?/p>

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满足?/p>

 

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则称

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为线性赋范空间?/p>

 

对比距离空间和线性赋范空间的定义可以发现?/p>

线性赋范空间是在距离空间的基础上增

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距离空间、线性赋范空间、内积空间的理解

及其区别

 

从初中开始,

我们就接触到了绝对值的概念?/p>

在以往学习过的实数域中?/p>

绝对值为一?/p>

非负的标量,

表示某个数到

0

的长度?/p>

而在学完向量的计算后我们知道?/p>

绝对值为向量的模?/p>

即向量的长度。扩展到现代数学,绝对值不止应用于实数域、向量计算,还适用于点列、函

数等,由此也就引出了距离的概念?/p>

 

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X

是任一集合

, 

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按照一定的法则确定一个函?/p>

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有距离空间的定义可以发现?/p>

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他可以简单地理解?/p>

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若点?/p>

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线性空间是具有线性结构的空间?/p>

他在空间上定义了加法和数乘运算?/p>

这就表示空间?/p>

的所有点都可以用一组基通过加法和数乘线性表示出来?/p>

转化到图像上就是线性空间可以表

示某一点的位置?/p>

有一种特殊的线性空间叫做向量空间,

向量空间可以表示起始点在原点?/p>

向量?/p>

若想知道两个向量相加的和向量或者向量数乘之后的向量长度?/p>

则需要引入范数的?/p>

念?/p>

范数可以近似理解为向量的长或者确定点到原点的距离?/p>

引入范数的线性空间称作线?/p>

赋范空间。定义为?/p>

 

X

为一线性空间,

x

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1.

 

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2.

 

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线性赋范空间是在距离空间的基础上增

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距离空间、线性赋范空间、内积空间的理解

及其区别

 

从初中开始,

我们就接触到了绝对值的概念?/p>

在以往学习过的实数域中?/p>

绝对值为一?/p>

非负的标量,

表示某个数到

0

的长度?/p>

而在学完向量的计算后我们知道?/p>

绝对值为向量的模?/p>

即向量的长度。扩展到现代数学,绝对值不止应用于实数域、向量计算,还适用于点列、函

数等,由此也就引出了距离的概念?/p>

 

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X

是任一集合

, 

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按照一定的法则确定一个函?/p>

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1.

 

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则称

X

为一个距离空间,

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之间的距离?/p>

 

有距离空间的定义可以发现?/p>

距离空间中的距离是一个二元函数,

他可以简单地理解?/p>

x

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若点?/p>

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转化到图像上就是线性空间可以表

示某一点的位置?/p>

有一种特殊的线性空间叫做向量空间,

向量空间可以表示起始点在原点?/p>

向量?/p>

若想知道两个向量相加的和向量或者向量数乘之后的向量长度?/p>

则需要引入范数的?/p>

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范数可以近似理解为向量的长或者确定点到原点的距离?/p>

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X

为一线性空间,

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1.

 

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2.

 

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3.

 

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距离空间、线性赋范空间、内积空间的理解及其区别 - 百度文库
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距离空间、线性赋范空间、内积空间的理解

及其区别

 

从初中开始,

我们就接触到了绝对值的概念?/p>

在以往学习过的实数域中?/p>

绝对值为一?/p>

非负的标量,

表示某个数到

0

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而在学完向量的计算后我们知道?/p>

绝对值为向量的模?/p>

即向量的长度。扩展到现代数学,绝对值不止应用于实数域、向量计算,还适用于点列、函

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是任一集合

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按照一定的法则确定一个函?/p>

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非负性:

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3.

 

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则称

X

为一个距离空间,

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,

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x

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为空间中

,

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之间的距离?/p>

 

有距离空间的定义可以发现?/p>

距离空间中的距离是一个二元函数,

他可以简单地理解?/p>

x

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y

之间的长度,?/p>

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我们定义距离空间实际上是为了在空间这个概念上定义收敛?/p>

若点?/p>

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线性空间是具有线性结构的空间?/p>

他在空间上定义了加法和数乘运算?/p>

这就表示空间?/p>

的所有点都可以用一组基通过加法和数乘线性表示出来?/p>

转化到图像上就是线性空间可以表

示某一点的位置?/p>

有一种特殊的线性空间叫做向量空间,

向量空间可以表示起始点在原点?/p>

向量?/p>

若想知道两个向量相加的和向量或者向量数乘之后的向量长度?/p>

则需要引入范数的?/p>

念?/p>

范数可以近似理解为向量的长或者确定点到原点的距离?/p>

引入范数的线性空间称作线?/p>

赋范空间。定义为?/p>

 

X

为一线性空间,

x

X

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,定义实值函?/p>

x

满足?/p>

 

1.

 

非负性:

0

x

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,且

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2.

 

齐次性:

=

x

x

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3.

 

三角函数?/p>

+

x

y

x

y

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则称

x

?/p>

X

的范数,

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为线性赋范空间?/p>

 

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