近世代数复习?/p>
习题
2.2-3
证明?/p>
1
)在一个有限群里,阶大?/p>
2
的元素的个数一定是偶数?/p>
2
)偶数阶群中阶等?/p>
2
的元素的个数一定是奇数
.
证明
?/p>
1
)设
G
是一个有限群?/p>
a
?/p>
G
的任意一个阶大于
2
的元素,则显?/p>
1
a
a
?/p>
?/p>
(否则将?/p>
2
a
e
?/p>
?/p>
?/p>
a
?/p>
1
a
?/p>
有相同的阶,?/p>
1
a
?/p>
的阶也大?/p>
2.
又设
b
也是
G
中一个阶大于
2
的元素,?/p>
1
,
b
a
b
a
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
则易?/p>
1
1
1
,
.
b
a
b
a
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
这就是说?/p>
G
中阶大于
2
的元素是成对出现?/p>
.
由于
G
是有限群,故
G
的阶?/p>
?/p>
2
的元素的个数必为偶数
.
2
)设
G
是一个偶数阶有限?/p>
.
由于单位元是阶为
1
的唯一元素,又?/p>
1
)知
G
中阶大于
2
的元素的个数是偶数,?/p>
G
中阶数等?/p>
2
的元素的个数一定是?/p>
?/p>
.
习题
2.4.1
?/p>
G
a
?/p>
?/p>
6
阶循环群
.
给出
G
的一切生成元?/p>
G
的所有子?/p>
.
解:
生成元有两个?/p>
5
,
;
a
a
子群?/p>
T(6)=4
个,?/p>
e
?/p>
G
外另外两个为?/p>
2
2
4
3
3
{
,
,
}
,
{
,
}
.
a
e
a
a
a
e
a
?/p>
?/p>
习题
2.5.1
?/p>
{
1,2,3,4},
{
,
}
M
H
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,其?/p>
1
2
3
4
1
2
3
4
,
1
1
3
4
1
1
3
3
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
.
问:
H
关于变换乘法是否作成有单位元的半群?是否作成群?
习题
2.6.4
?/p>
(327)(26)(14),
(134)(57).
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
试求
1
1
?
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2.7
?/p>
1
?/p>
3
S
的子?/p>
H={(1),(12)}
?/p>
3
S
关于
H
的左右陪?/p>
.
3.2
?/p>
1
证明?/p>
{(1),(123),(132)}
N
?/p>
是三元对称群
3
S
的一个正规子?/p>
.
但是
3
S
的三
个子?/p>
1
2
3
{(1),(12)},
{(1)(13)},
{(1),(23)}
H
H
H
?/p>
?/p>
?/p>
都不?/p>
3
S
的正规子?/p>
.
习题
3.2.1
证明:指数是
2
的子群必是正规子?/p>
.
7.
?/p>
S
为群
G
的非空子集,
?/p>
(
)
{
|
,
}
N
S
a
a
G
aS
Sa
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
S
?/p>
G
中的正规化子?/p>
并称
1
aSa
?/p>
为(子群?/p>
S
的共轭(子群)子?/p>
.
证明?/p>
1
?/p>
1
1
(
)
(
)
;
N
aSa
aN
S
a
?/p>
?/p>
?/p>
2
?/p>
(
)
;
N
S
G
?/p>