偏微分方程实验报告二
实验题目?/p>
利用向前差分求解如下一维热传导方程,并观察最大规模误差变化情况:
].
1
.
0
,
0
[
],
1
,
0
[
),
(
)
0
,
(
),
(
)
,
1
(
),
(
)
,
0
(
),
,
(
0
2
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
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t
x
x
u
x
u
x
u
t
u
x
u
t
u
t
x
f
x
u
a
t
u
R
L
其中
;
1
?/p>
a
真解?/p>
t
e
x
t
x
u
10
)
2
sin(
)
,
(
?/p>
?/p>
最大模误差定义如下?/p>
)
,
(
)
,
(
max
,
j
i
U
t
x
u
E
j
i
t
x
j
i
?/p>
?/p>
实现算法?/p>
对于初边值问题(抛物方程?/p>
,
0
,
0
)
,
(
)
,
0
(
,
0
),
(
)
0
,
(
,
)
,
(
),
(
2
2
T
t
t
l
u
t
u
l
x
x
x
u
G
t
x
x
f
x
u
a
t
u
?/p>
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?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
(1)
其相应的有限差分法的算法如下?/p>
1.
对求解区域做网格剖分?/p>
得到计算网格
.
取空间步长和时间步长?/p>
M
T
N
h
?/p>
?
?/p>
,
1
,分别对
空间变量
X
所属的区间
]
,
0
[
l
和时间变?/p>
t
所属的区间
]
,
0
[
T
做如下均匀剖分?/p>
T
t
t
t
l
x
x
x
M
N
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
...
0
,
...
0
1
0
1
0
其中
?/p>
k
t
jh
x
k
j
?/p>
?/p>
,
.
用两族平行直?/p>
)
,...,
1
,
0
(
N
x
x
j
?/p>
?/p>
)
,...,
1
,
0
(
M
k
t
t
k
?/p>
?/p>
将矩形域
G
分割成矩形网?/p>
.
2.
对微分方程中的各阶导数进行差分离散,得到差分方程
.
?/p>
k
j
u
表示差分解在网格节点
?
?/p>
k
j
t
x
,
处的分量,下面采用逐层计算的思想建立差分格式
.
设从?/p>
0
个时间层到第
0
?/p>
k
个时间层的差分解分量
N
j
k
i
u
i
j
,...,
0
;
,...,
0
,
?/p>
?/p>
已经求得
.
下面建立?/p>
1
?/p>
k
个时间层(简称当前层)上的向前差分方程,对当前层上的任意内节?
)
,
(
1
?/p>
k
j
t
x
,规定其差分格式涉及的模板点?/p>