平面向量的基本定理及坐标表示
[
知识能否忆起
]
一、平面向量基本定理及坐标表示
1
?/p>
平面向量基本定理
如果
e
1
?/p>
e
2
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量
a
,有?/p>
只有一对实?/p>
λ
1
?/p>
λ
2
,使
a
?/p>
λ
1
e
1
?/p>
λ
2
e
2
.
其中,不共线的向?/p>
e
1
?/p>
e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2
?/p>
平面向量的正交分?/p>
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.
3
?/p>
平面向量的坐标表?/p>
(1)
在平面直角坐标系中,
分别取与
x
轴,
y
轴方向相同的两个单位向量
i
?/p>
j
作为基底?/p>
?/p>
于平面内的一个向?/p>
a
,有且只有一对实?/p>
x
?/p>
y
,使
a
?/p>
x
i
?/p>
y
j
,把有序数对
(
x
?/p>
y
)
叫做向量
a
的坐标,记作
a
?/p>
(
x
?/p>
y
)
,其?/p>
x
叫做
a
?/p>
x
轴上的坐标,
y
叫做
a
?/p>
y
轴上的坐标.
(2)
?/p>
OA
u
u
u
r
?/p>
x
i
?/p>
y
j
,则向量
OA
u
u
u
r
的坐?/p>
(
x
?/p>
y
)
就是终点
A
的坐标,即若
OA
u
u
u
r
?/p>
(
x
?/p>
y
)
,则
A
点坐标为
(
x
?/p>
y
)
,反之亦成立?/p>
(
O
是坐标原?/p>
)
二、平面向量坐标运?/p>
1
?/p>
向量加法、减法、数乘向量及向量的模
?/p>
a
?/p>
(
x
1
?/p>
y
1
)
?/p>
b
?/p>
(
x
2
?/p>
y
2
)
?/p>
?/p>
a
?/p>
b
?/p>
(
x
1
?/p>
x
2
?/p>
y
1
?/p>
y
2
)
?/p>
a
?/p>
b
?/p>
(
x
1
?/p>
x
2
?/p>
y
1
?/p>
y
2
)
?/p>
λ
a
?/p>
(
λx
1
?/p>
λy
1
)
?/p>
2
?/p>
向量坐标的求?/p>
(1)
若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标?/p>
(2)
?/p>
A
(
x
1
?/p>
y
1
)
?/p>
B
(
x
2
?/p>
y
2
)
,则
AB
u
u
u
r
?/p>
(
x
2
?/p>
x
1
?/p>
y
2
?/p>
y
1
)
?/p>
|
AB
u
u
u
r
|
?/p>
?/p>
x
2
?/p>
x
1
?/p>
2
?/p>
?/p>
y
2
?/p>
y
1
?/p>
2
.
三、平面向量共线的坐标表示
?/p>
a
?/p>
(
x
1
?/p>
y
1
)
?/p>
b
?/p>
(
x
2
?/p>
y
2
)
,其?/p>
b
?/p>
0.
?/p>
a
?/p>
b
?/p>
x
1
y
2
?/p>
x
2
y
1
?/p>
0.
[
小题能否全取
]
1
?/p>
(2012·
广东高?/p>
)
若向?/p>
AB
u
u
u
r
?/p>
(1,2)
?/p>
BC
u
u
u
r
?/p>
(3,4)
,则
AC
u
u
u
r
?/p>
(
)
A
?/p>
(4,6)
B
?/p>
(
?/p>
4
,-
6)
C
?/p>
(
?/p>
2
,-
2)
D
?/p>
(2,2)
解析?/p>
?/p>
A
?/p>
AC
u
u
u
r
?/p>
AB
u
u
u
r
?/p>
BC
u
u
u
r
,∴
AC
u
u
u
r
?/p>
(1,2)
?/p>
(3,4)
?/p>
(4,6)
?/p>
2
.已知向?/p>
a
?/p>
(2,1)
?/p>
b
?/p>
(
x
,-
2)
,若
a
?/p>
b
,则
a
?/p>
b
等于
(
)