导数与函数专?/p>
(
?/p>
)·
作业
(
二十?/p>
)
1
?/p>
(2019·
河南八校质检
)
已知函数
f(x)
?/p>
xlnx
?/p>
g(x)
?/p>
1
8
x
2
?/p>
x.
(1)
?/p>
f(x)
的单调区间和极值点?/p>
(2)
是否存在实数
m
,使得函?/p>
h(x)
?/p>
3f
?/p>
x
?
4x
?/p>
m
?/p>
g(x)
有三个不同的零点?若?/p>
在,求出
m
的取值范围;若不存在,请说明理由?/p>
解析
(1)f
?/p>
(x)
?/p>
lnx
?/p>
1
?/p>
?/p>
f
?/p>
(x)>0
,得
x>
1
e
?/p>
f
?/p>
(x)<0
,得
0<x<
1
e
?/p>
所?/p>
f(x)
?/p>
(0
?/p>
1
e
)
上单调递减,在
(
1
e
,+
?/p>
)
上单调递增?/p>
?/p>
f(x)
的极小值点?/p>
x
?/p>
1
e
.
(2)
假设存在实数
m
,使得函?/p>
h(x)
?
3f
?/p>
x
?
4x
?/p>
m
?/p>
g(x)
有三个不同的零点?/p>
即方?/p>
6lnx
?/p>
8m
?/p>
x
2
?/p>
8x
?/p>
0
有三个不等实根.
?/p>
φ(x)
?/p>
6lnx
?/p>
8m
?/p>
x
2
?/p>
8x
?/p>
φ?/p>
(x)
?/p>
6
x
?/p>
2x
?/p>
8
?/p>
2
?/p>
x
2
?/p>
4x
?/p>
3
?/p>
x
?/p>
2
?/p>
x
?/p>
3
)(
x
?/p>
1
?/p>
x
?/p>
?/p>
φ
?/p>
(
x)>0
,得
0<x<1
?/p>
x>3
;由
φ
?/p>
(x)<0
,得
1<x<3
?/p>
所?/p>
φ(x)
?/p>
(0
?/p>
1)
上单调递增?/p>
(1
?/p>
3)
上单调递减?/p>
(3
,+
?/p>
)
上单调递增?/p>
所?/p>
φ(x)
的极大值为
φ(1)
=-
7
?/p>
8m
,?/p>
(x)
的极小值为
φ(3)
=-
15
?/p>
6ln3
?/p>
8m.
?/p>
使方?/p>
6lnx
?/p>
8m
?/p>
x
2
?/p>
8x
?/p>
0
有三个不等实根,
则函?/p>
φ(x)
的图像与
x
轴要有三?/p>
交点?/p>
根据
φ(x)
的图像可知必须满?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
7
?/p>
8m>0
?/p>
?/p>
15
?/p>
6ln3
?/p>
8m<0
?/p>
解得
7
8
<m<
15
8
?/p>
3
4
ln3.
所以存在实?/p>
m
,使得方?
3f
?/p>
x
?
4x
?/p>
m
?/p>
g(x)
?/p>
0
有三个不等实根,
实数
m
的取值范围是
7
8
<m<
15
8
?/p>
3
4
ln3.
2
?/p>
(2019·
长沙调研
)
已知函数
f(x)
?/p>
alnx
?/p>
1
2
x
2
?/p>
ax(a
为常?/p>
)
有两个极值点?/p>