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1
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河南科技大学
2014
年硕士研究生入学考试试题
考试科目代码?/p>
636
考试科目名称?/p>
数学分析
(如无特殊注明,所有答案必须写在答题纸上,否则以?/p>
0
”分计算?/p>
一、求极限(每小题
10
分,?/p>
20
分)
?/p>
1.
?/p>
?/p>
?/p>
?
2
0
1
2
lim
1
cos
ln(1
tan
)
x
x
x
x
e
e
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2.
1
1
lim
sin
n
n
k
n
k
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
12
分)
?/p>
设函?/p>
(
)
f
x
?/p>
(
,
)
上满足方?/p>
(
)
(
)
f
x
f
x
?/p>
?/p>
?/p>
其中
1
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为常数.
证明?/p>
?/p>
(
)
f
x
?/p>
0
x
?/p>
连续,则
(
)
f
x
?/p>
(
,
)
上恒为常数.
三(
14
分)
、设函数
)
,
(
y
x
z
z
?/p>
具有二阶连续偏导数,并满足方?/p>
0
2
2
2
2
2
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
y
z
y
x
z
x
z
.证明:在变?
z
xy
w
y
x
v
y
x
u
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,
,
之下,上述方程变?/p>
2
1
2
2
?/p>
?/p>
?/p>
u
w
?/p>
四(
14
分)
、证明:函数
(
)
cos
f
x
x
?/p>
在区?/p>
[0,
)
上一致连续.
?/p>
?/p>
15
分)
?/p>
设函?/p>
)
(
x
f
?/p>
(
,
)
上二次可微,
且对任意
(
,
)
x
?/p>
?/p>
?/p>
0
(
)
f
x
M
?/p>
?/p>
2
(
)
f
x
M
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
证明:对任意
(
,
)
x
?/p>
,成?/p>
0
2
(
)
2
f
x
M
M
?/p>
?
?/p>
六(
15
分)
、设
0
?/p>
?/p>
为常数,函数
(
)
x
?/p>
?/p>
(0,
)
上有定义,且
lim
(
)
1
x
x
?/p>
?/p>
.证明:
1
(
)
1
lim
x
x
s
x
ds
s
?/p>
?
?/p>
?
?/p>
?
?
?/p>
七(
15
分)
、求曲面积分
(
)
(2
sin(
))
(3
)
x
y
S
x
y
z
dydz
y
z
x
dzdx
z
e
dxdy
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,其?/p>
S
是曲?
|
|
|
|
|
|
1
x
y
z
x
y
z
x
y
z
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
的外侧.
八(
15
分)
、设
0
p
?/p>
?/p>
0
b
a
?/p>
?/p>
为常数,计算无穷积分
0
sin
sin
px
bx
ax
I
e
dx
x
?/p>
?/p>
?
?
?/p>
九(
15
分)
、证明:对任意正整数
n
,存在惟一正实?/p>
n
x
满足
2
0
cos
2
n
x
n
u
u
e
u
du
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?
?/p>
并且
lim
1
n
n
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
15
分)
?/p>
设正项级?/p>
1
n
n
a
?/p>
?/p>
?/p>
收敛?/p>
0
n
a
?/p>
?/p>
n
k
k
n
r
a
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1,2,
n
?/p>
?/p>
?
证明?/p>
函数项级?/p>
1
n
x
n
n
a
r
?
?/p>
?/p>
?/p>
(
,1)
x
?/p>
上收敛但非一致收敛.