第五ç«?/p>
平面向量
5.3
平面向量的数量积试题
�/p>
北师大版
1
.向量的夹角
已知两个非零向量
a
å’?/p>
b
,作
OA
�/p>
ï¼?/p>
a
ï¼?/p>
OB
�
ï¼?/p>
b
,则âˆ?/p>
AOB
ï¼?/p>
θ
(0°â‰?/p>
θ
â‰?80°)叫作向量
a
�/p>
b
的夹角.
2
.平面向量的数量ç§?/p>
定义
已知两个向量
a
å’?/p>
b
,它们的夹角ä¸?/p>
θ
,我们把
|
a
||
b
|·cos
θ
叫作
a
�/p>
b
的数量积
(
或内ç§?/p>
)
,记ä½?/p>
a
·
b
几何
意义
a
�/p>
b
的数量积等于
a
的长åº?/p>
|
a
|
�/p>
b
�/p>
a
方向上射å½?/p>
|
b
|cos
θ
的乘积,æˆ?
b
的长åº?/p>
|
b
|
�/p>
a
�/p>
b
方向上射å½?/p>
|
a
|cos
θ
的乘ç§?/p>
3.
平面向量数量积的性质
è®?/p>
a
ï¼?/p>
b
都是非零向量ï¼?/p>
e
是单位向量,
θ
�/p>
a
�/p>
b
(
�/p>
e
)
的夹角.åˆ?/p>
(1)
e
·
a
ï¼?/p>
a
·
e
ï¼?/p>
|
a
|cos
θ
.
(2)
a
�/p>
b
�/p>
a
·
b
ï¼?/p>
0.
(3)
å½?/p>
a
�/p>
b
同向时,
a
·
b
ï¼?/p>
|
a
||
b
|
ï¼?/p>
å½?/p>
a
�/p>
b
反向时,
a
·
b
=-
|
a
||
b
|.
特别地,
a
·
a
ï¼?/p>
|
a
|
2
�/p>
|
a
|
ï¼?/p>
a
·
a
.
(4)cos
θ
ï¼?/p>
a
·
b
|
a
||
b
|
.
(5)|
a
·
b
|≤|
a
||
b
|.
4
.平面向量数量积满足的运算律
(1)
a·b
ï¼?/p>
b·a
ï¼?/p>
(2)(
λ
a
)·
b
ï¼?/p>
λ
(
a·b
)
ï¼?/p>
a
·(
λ
b
)(
λ
为实æ•?/p>
)
ï¼?/p>
(3)
a
·(
b
ï¼?/p>
c
)
ï¼?/p>
a
·
b
ï¼?/p>
a
·
c
.
5
.平面向量数量积有关性质的坐标表ç¤?/p>
设向é‡?/p>
a
ï¼?/p>
(
x
1
ï¼?/p>
y
1
)
ï¼?/p>
b
ï¼?/p>
(
x
2
ï¼?/p>
y
2
)
,则
a·b
ï¼?/p>
x
1
x
2
ï¼?/p>
y
1
y
2
,由此得åˆ?/p>
(1)
è‹?/p>
a
ï¼?/p>
(
x
ï¼?/p>
y
)
,则
|
a
|
2
ï¼?/p>
x
2
ï¼?/p>
y
2
�/p>
|
a
|
ï¼?/p>
x
2
ï¼?/p>
y
2
.
(2)
è®?/p>
A
(
x
1
ï¼?/p>
y
1
)
ï¼?/p>
B
(
x
2
ï¼?/p>
y
2
)
,则
A
ï¼?/p>
B
两点间的距离
AB
ï¼?/p>
|
AB
�
|
ï¼?
x
2
ï¼?/p>
x
1
2
ï¼?/p>
y
2
ï¼?/p>
y
1
2
.
(3)
设两个非零向é‡?/p>
a
ï¼?/p>
b
ï¼?/p>
a
ï¼?/p>
(
x
1
ï¼?/p>
y
1
)
ï¼?/p>
b
ï¼?/p>
(
x
2
ï¼?/p>
y
2
)
,则
a
�/p>
b
�/p>
x
1
x
2
ï¼?/p>
y
1
y
2
ï¼?/p>
0.