燕尾定理?/p>
在三角形
ABC
中,
AD
?/p>
BE
?/p>
CF
相交于同一?/p>
O
,那?/p>
:
:
ABO
ACO
S
S
BD
DC
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为
ABO
?/p>
?/p>
ACO
?/p>
的形状很象燕子的尾巴,所以这
个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何
一个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径
.
通过一道例题证明一下燕尾定理:
如右图,
D
?/p>
BC
上任意一点,请你说明?/p>
1
4
2
3
:
:
:
S
S
S
S
BD
DC
?/p>
?/p>
【解析?/p>
?/p>
角形
BED
与三角形
CED
同高,分别以
BD
?/p>
DC
为底?/p>
所以有
1
4
:
:
S
S
BD
DC
?/p>
;三角形
ABE
与三角形
EBD
同高?/p>
1
2
:
:
S
S
ED
EA
?/p>
;三角形
ACE
与三角形
CED
同高?/p>
4
3
:
:
S
S
ED
EA
?/p>
,所?/p>
1
4
2
3
:
:
S
S
S
S
?/p>
;综上可?/p>
1
4
2
3
:
:
:
S
S
S
S
BD
DC
?/p>
?/p>
.
【例
1
?/p>
?/p>
2009
年第七届希望杯五年级一试试题)如图,三角形
ABC
的面积是
1
?/p>
E
?/p>
AC
的中点,?/p>
D
?
BC
上,?/p>
:
1:
2
BD
DC
?/p>
?/p>
AD
?/p>
BE
交于?/p>
F
.则四边?/p>
DFEC
的面积等?/p>
?/p>
【解析?/p>
?/p>
法一:连?/p>
CF
?
根据燕尾定理?
1
2
ABF
ACF
S
BD
S
DC
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
ABF
CBF
S
AE
S
EC
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,
?/p>
1
BDF
S
?/p>
?/p>
份,?/p>
2
DCF
S
?/p>
?/p>
份,
3
ABF
S
?/p>
?/p>
份,
3
AEF
EFC
S
S
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
份,如图所?/p>
所?/p>
5
5
12
12
DCEF
ABC
S
S
?
?/p>
?/p>
方法二:连接
DE
,由题目条件可得?/p>
1
1
3
3
ABD
ABC
S
S
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
1
2
1
2
2
3
3
ADE
ADC
ABC
S
S
S
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,所?
1
1
ABD
ADE
S
BF
FE
S
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
例题精讲
燕尾定理