常微分方程的数值解?/p>
专业班级:信息软?/p>
姓名:吴中原
学号?/p>
120108010002
一、实验目?/p>
1
、熟悉各种初值问题的算法,编出算法程序;
2
、明确各种算法的精度与所选步长有密切关系;通过计算更加了解各种
算法的优越性?/p>
二、实验题?/p>
1
、根据初值问题数值算法,分别选择二个初值问题编程计算;
2
、试分别取不同步长,考察某节?/p>
j
x
处数值解的误差变化情况;
3
、试用不同算法求解某初值问题,结果有何异常?/p>
4
、分析各个算法的优缺点?/p>
三、实验原理与理论基础
(一?/p>
欧拉法算法设?/p>
对常微分方程初始问题
(
6-1
)
(6-2)
用数值方法求解时,我们总是认为
(6-1)
?/p>
(6-2)
的解存在且唯一?/p>
欧拉法是解初值问题的最简单的数值方法?/p>
?/p>
(6-2)
式由?/p>
y
(
x
0
) =
y
0
已给定,
因而可以算?/p>
)
,
(
)
(
'
0
0
0
y
x
f
x
y
?/p>
?/p>
?/p>
x
1
=
h
充分小,则近似地有:
)
,
(
)
(
'
)
(
)
(
0
0
0
0
1
y
x
f
x
y
h
x
y
x
y
?/p>
?/p>
?/p>
(6-3)
?/p>
,n
,
,
i
x
y
y
i
i
?/p>
1
0
)
(
?/p>
?/p>
从而我们可以取
)
,
(
0
0
0
1
y
x
hf
y
y
?/p>
?/p>
作为
)
(
1
x
y
的近似值。利?/p>
1
y
?/p>
f
(
x
1
,
y
1
)
又可以算?/p>
)
(
2
x
y
的近似值:
)
,
(
1
1
1
2
y
x
hf
y
y
?/p>
?/p>
一般地,在任意?/p>
?/p>
?/p>
h
n
x
n
1
1
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
)
(
x
y
的近似值由下式给出
)
,
(
1
n
n
n
n
y
x
hf
y
y
?/p>
?/p>
?/p>
(6-4)
这就是欧拉法的计算公式,
h
称为步长?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
)
(
)
,
(
d
d
0
0
y
x
y
y
x
f
x
y