- 1 -
向量法求空间角、距离和二面?/p>
1.1.
向量的数量积和坐标运?/p>
b
a
?
?/p>
,
是两个非零向量,它们的夹角为
?/p>
,则?/p>
?/p>
cos
|
|
|
|
?/p>
?/p>
b
a
叫做
a
?/p>
b
?/p>
数量积(或内积)
,记?/p>
b
a
?/p>
,即
.
cos
|
|
|
|
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
b
a
b
a
其几何意义是
a
的长?/p>
?/p>
b
?/p>
a
的方向上的投影的乘积
.
其坐标运算是?/p>
?/p>
)
,
,
(
),
,
,
(
2
2
2
1
1
1
z
y
x
b
z
y
x
a
?/p>
?/p>
,则
?/p>
2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x
b
a
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
|
|
,
|
|
z
y
x
b
z
y
x
a
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x
b
a
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
,
cos
z
y
x
z
y
x
z
z
y
y
x
x
b
a
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
1.2.
异面直线
n
m
,
所成的?/p>
分别在直?/p>
n
m
,
上取定向?/p>
,
,
b
a
?
?/p>
则异面直?/p>
n
m
,
所
成的?/p>
?/p>
等于向量
b
a
?
?/p>
,
所成的角或其补?/p>
(如?/p>
1
所示)
?
?/p>
.
|
|
|
|
|
|
cos
b
a
b
a
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
(例?/p>
2004
年高考数学广东卷?/p>
18
题第?/p>
2
)问?/p>
1.3.
异面直线
n
m
?/p>
的距?/p>
分别在直?/p>
n
m
?/p>
上取定向?/p>
,
,
b
a
?/p>
?/p>
求与向量
b
a
?/p>
?/p>
?/p>
都垂直的
向量
n
?/p>
分别?/p>
n
m
?/p>
上各取一个定?/p>
B
A
?/p>
?/p>
则异面直?/p>
n
m
?/p>
的距?/p>
d
等于
AB
?
n
上的射影长,?/p>
|
|
|
|
n
n
AB
d
?/p>
?
.
证明:设
CD
为公垂线段,?/p>
b
DB
a
CA
?/p>
?
?/p>
?/p>
,
(如?/p>
1
所示)
,则
C
n
?/p>
1
D
A
B
n
m
a
b