习题
?/p>
1.
证明:如?/p>
f
(
t
)
满足傅里叶变换的条件,当
f
(
t
)
为奇函数时,则有
?/p>
?/p>
?/p>
0
d
sin
)
(
)
(
?/p>
?/p>
?/p>
t
b
t
f
其中
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
0
tdt
sin
π
2
)
(
?/p>
?/p>
t
f
b
?
f
(
t
)
?
?
?
?
?
?
?
?
?/p>
?/p>
?/p>
0
cos
)
(
)
(
?/p>
?/p>
td
w
a
t
f
其中
?
?/p>
?/p>
0
2
tdt
c
f(t)
)
(
?/p>
?/p>
?
os
a
证明?/p>
因为
?/p>
?/p>
?/p>
d
G
t
f
t
i
?/p>
?
?/p>
?/p>
e
)
(
π
2
1
)
(
其中
)
(
?/p>
G
?/p>
f
(
t
)
的傅里叶变换
(
)
(
)
(
)
(cos
sin
)
i
t
G
f
t
e
dt
f
t
t
i
t
dt
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?
(
)
cos
(
)
sin
f
t
tdt
i
f
t
tdt
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?
?/p>
f
(
t
)
为奇函数时,
t
cos
f(t)
?/p>
?/p>
为奇函数,从?
?
?
?/p>
?/p>
?/p>
0
tdt
cos
f(t)
?/p>
t
sin
f(t)
?/p>
?/p>
为偶函数,从?/p>
?
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
0
.
sin
f(t)
2
tdt
sin
f(t)
tdt
?/p>
?/p>
?/p>
.
sin
f(t)
2
)
(
0
tdt
i
G
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
)
(
)
(
?/p>
?/p>
G
G
?/p>
?/p>
?/p>
为奇数?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?
?/p>
d
t
i
t
G
d
e
G
t
f
t
i
)
sin
(cos
)
(
2
1
)
(
2
1
)
(
?/p>
?/p>
?
?/p>
?
?
?
?
?/p>
?
?/p>
=
0
1
(
)
sin
d
(
)
sin
d
2
π
π
i
G
i
t
G
t
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
所以,?/p>
f(t)
为奇函数时,?/p>
0
0
2
(
)
b(
)
sin
d
.
b(
)=
(
)
sin
dt.
π
f
t
t
f
t
t
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
其中
同理,当
f(t)
为偶函数时,?/p>
0
(
)
(
)
cos
d
f
t
a
t
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
.
其中
0
2
(
)
(
)
cos
π
a
f
t
tdt
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
2.
在上一题中?/p>
?/p>
(
)
f
t
?/p>
2
1
,
0,
1
t
t
t
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
.
计算
(
)
a
?/p>
?
?/p>
.
?/p>
:
1
2
0
0
1
1
1
2
2
0
0
1
2
0
1
2
0
1
1
2
0
0
2
2
2
(
)
(
)
cos
d
cos
d
0
cos
d
π
π
π
2
2
1
cos
d
d(sin
)
π
π
1
2
2
sin
sin
2
d
0
π
π
2
sin
4
(cos
)
π
2sin
4
cos
cos
π
2sin
4co
a
f
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
d
t
t
t
tdt
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
3
s
4sin
?/p>
?/p>
?/p>
3.
计算函数
sin
,
6
π
(
)
0,
6
π
t
t
f
t
t
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
的傅里叶变换
.
?/p>
:
?/p>
?/p>
6
π
6
π
6
π
6
π
6
π
0
2
(
)
(
)
d
sin
d
sin
(cos
sin
)d
2
sin
sin
d
sin
6
π
π
(1
)
i
t
i
t
F
f
f
t
e
t
t
e
t
t
t
i
t
t
i
t
t
t
i
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?
?
?/p>
4.
求下列函数的傅里叶变?/p>
(1)
(
)
t
f
t
e
?/p>
?/p>
解:
?/p>
?/p>
|
|
(|
|
)
0
(1
)
(1
)
2
0
F
f
(
)
(
)
d
d
d
2
d
d
1
i
t
t
i
t
t
i
t
t
i
t
i
f
t
e
t
e
e
t
e
t
e
t
e
t
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?
(2)
2
(
)
t
f
t
t
e
?/p>
?/p>
?/p>
解:因为
2
2
2
2
2
/
4
F[
]
π
.
(
)
(
2
)
2
.
t
t
t
t
e
e
e
e
t
t
e
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
所
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
2
2
4
π
(
)
F(
)
2
t
G
t
e
e
i
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
(3)
2
sin
π
(
)
1
t
f
t
t
?/p>
?/p>
解: