勾股定理中的数学思想
为使同学们在运用定理解题时思路开阔,
同时也可以加深对数学概念?/p>
公式?/p>
定理的理
解,在应用勾股定理时要掌握一些重要的数学思想方法?/p>
一、分类讨论思想
分类讨论思想是解题时常用的一种思想方法?/p>
同学们如果掌握了这种方法?/p>
可以使思维
的条理性、缜密性、灵活性得到培养,在解题中才能真正做到不重不漏?/p>
?/p>
1
在△
ABC
中,
AB
=15
?/p>
AC
=20
?/p>
BC
边上的高
AD=
12
,试?/p>
BC
边的长.
解析?/p>
三角形中某边上的高既可在三角形内部,
也可在三角形外部?/p>
故此题应分两种情
况来考虑?/p>
?/p>
1
?/p>
2
?/p>
BC
边上的高
AD
在△
ABC
的内部时?/p>
如图
1
?/p>
由勾股定理,
?/p>
BD
2
?/p>
AB
2
?/p>
AD
2
?/p>
152
?/p>
122
?/p>
81
?/p>
?/p>
BD
=9
?/p>
CD
2
?/p>
AC
2
?/p>
AD
2
?/p>
20
2
?/p>
12
2
?/p>
256
?/p>
?/p>
CD=
16
?/p>
?/p>
BC
?/p>
BD
?/p>
CD
?/p>
25
?/p>
?/p>
BC
边上的高
AD
在△
ABC
的外部时?/p>
如图
2
?/p>
同样由勾股定理可求得
CD
=16
?/p>
BD
=9
?/p>
?/p>
?/p>
BC
=
CD
-
BD
=7
.故
BC
边的长为
25
?/p>
7
?/p>
点评?/p>
此题如有图形则将变得很简单,按图形解答即可.
但若没有图形,则需要讨论几
种可能的情况.这正是
?/p>
无图题前细思考,分类讨论保周?/p>
?/p>
?/p>
二、数形结合思想
在运用数形结合思想考虑问题时,
既可把数量关系转化为图形的性质问题来解决,
也可
把图形的性质问题转化为数量关系的问题来处理.
勾股定理本身就是数形结合的定理,
它的
验证和应用都体现了数形结合的思想?/p>
所以,
运用勾股定理可以顺利解决某些具有平方特征
的代数问题,反之亦然?/p>
?/p>
2
?/p>
x
?/p>
y
为正实数,且
x
+
y
=4
?/p>
2
2
1
4
x
y
?/p>
?
?/p>
的最
小值是多少?/p>
解析:若能考虑?/p>
2
1
x
?/p>
是以
x
?/p>
1
?
2
4
y
?/p>
是以
y
?/p>
2
为直角边的直角三角形斜边的长,那么上述问题就变成了求两条线段和的最值问题.如图?/p>
线段
AB
=4
?/p>
P
?/p>
AB
上一动点?/p>
?/p>
PA=x
?/p>
PB=y
?/p>
CA
?/p>
AB
?/p>
DB
?/p>
AB
?/p>
A
?/p>
B
为垂足,
?/p>
CA
=1
?/p>
BD
=2
,则
PC
?/p>
PD
2
2
1
4
x
y
?
?/p>
?/p>
?/p>
.易知当?/p>
P
?/p>
C
?/p>
D
在同一条直线上时,
PC
+
PD
最
?/p>
?/p>
?/p>
CE
?/p>
?/p>
DB
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
E
?/p>
?/p>
?/p>
EC
=4
?/p>
ED
=2+1=3
?/p>
?
PC
+
PD
=
DC
2
2
3
4
5
?/p>
?/p>
?/p>
.故
2
2
1
4
x
y
?/p>
?
?/p>
的最小值为
5
?/p>
点评:此题难在对形如
2
2
a
b
?/p>
式子的理解,
2
2
a
b
?/p>
表示以正?/p>
a
b
?/p>
为直角边?/p>
直角三角形的斜边?/p>
看到这个式子应立刻在头脑中产生这个直角三角形?/p>
这当然需要经验的
积累,有了这个直角三角形,解决问题便有了思路?/p>