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1
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第七?/p>
线性变?/p>
3
.在
[
]
P
x
中,
(
)
(
)
f
x
f
x
?/p>
?/p>
?/p>
(
)
(
)
f
x
xf
x
?/p>
,证明:
?
?
?/p>
『解题提示』直接根据变换的定义验证即可?/p>
证明
任取
(
)
[
]
f
x
P
x
?/p>
,则?/p>
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
))
(
(
))
f
x
f
x
f
x
xf
x
f
x
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?/p>
?/p>
?/p>
(
(
))
(
)
(
)
(
)
xf
x
xf
x
f
x
f
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
于是
?
?
?/p>
4
.设
,
是线性变换,如果
?
?/p>
,证明:
1
,
1
k
k
k
k
k
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
『解题提示』利用数学归纳法进行证明?/p>
证明
?/p>
2
k
?/p>
时,由于
?/p>
?/p>
,可?/p>
2
2
(
)
(
)
2
?
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
因此结论成立?/p>
假设?/p>
k
s
?/p>
时结论成立,?
1
s
s
s
s
?/p>
?
?/p>
.那么,?/p>
1
k
s
?/p>
?/p>
时,?/p>
1
1
(
)
(
)
(
1)
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
即对
1
k
s
?/p>
?/p>
结论也成立.从而,根据数学归纳法原理,对一?/p>
1
?/p>
k
结论都成立.
『特别提醒』由
0
?/p>
可知,结论对
1
k
?/p>
也成立.
5
.证明:可逆映射是双射?/p>
『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可.
证明
?
是线性空?/p>
V
上的一个可逆变换.
对于任意?/p>
,
V
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
如果
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
那么?/p>
?
1
?/p>
作用左右两边,得?/p>
1
1
(
)
(
)
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,因?/p>
是单射;另外,对于任意的
V
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?/p>
,存?
1
V
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
,使?/p>
1
(
)
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,即
是满射.于是
是双射.