?/p>
?/p>
?/p>
3
?/p>
1
函数中的恒成立、恰成立和能成立问题
教学目标?/p>
结合具体函数,讨论关于任意与存在性问题的一般解题方?/p>
过程与方?/p>
通过研究具体函数及其图象,将任意与存在性问题转化为函数值域关系或最值关?/p>
问题?/p>
已知函数
]
1
,
0
[
,
2
)
(
2
?/p>
?/p>
?/p>
x
k
x
k
x
f
,函?/p>
]
0
,
1
[
,
5
)
1
(
2
3
)
(
2
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
x
x
k
k
x
x
g
?/p>
?/p>
6
?/p>
k
时,对任?/p>
]
1
,
0
[
1
?/p>
x
,是否存?/p>
]
0
,
1
[
2
?/p>
?/p>
x
?/p>
)
(
)
(
1
2
x
f
x
g
?/p>
成立
.
?/p>
2
?/p>
k
呢?
变式
1
?/p>
对任?/p>
]
1
,
0
[
1
?/p>
x
,存?/p>
]
0
,
1
[
2
?/p>
?/p>
x
?/p>
)
(
)
(
1
2
x
f
x
g
?/p>
成立,求
k
的取值范?/p>
.
(
)
f
x
的值域?/p>
(
)
g
x
的值域的子集即?/p>
.
变式
2
?/p>
存在
]
1
,
0
[
1
?/p>
x
]
0
,
1
[
2
?/p>
?/p>
x
,使?/p>
)
(
)
(
1
2
x
f
x
g
?/p>
成立,求
k
的取值范?/p>
.
)
(
x
g
的值域?/p>
)
(
x
f
的值域的交集非?/p>
.
变式
3
?/p>
对任?/p>
]
1
,
0
[
1
?/p>
x
,存?/p>
]
0
,
1
[
2
?/p>
?/p>
x
,使?/p>
)
(
)
(
1
2
x
f
x
g
?/p>
成立,求
k
的取值范?/p>
.
)
(
)
(
min
min
x
f
x
g
?/p>
《小结?/p>
?/p>
对函数中的存在性与任意性问?/p>
:
相等关系转化为函数值域之间
的关系,不等关系转化为函数的最值大?/p>
.
?/p>
1
?/p>
?/p>
1
)已?/p>
2
2
(
)
,
[1,
),
(
)
0
x
x
a
f
x
x
f
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
对任?/p>
恒成立,
求实?/p>
a
的取值范围?/p>
?/p>
2
)已?/p>
2
2
(
)
x
x
a
f
x
x
?/p>
?/p>
?/p>
,对任意
[1,
)
x
?/p>
?/p>
(
)
f
x
的值域?/p>
[0
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,求实数
a
的取值范围?/p>
分析
:本题第?/p>
1
)问是一个恒成立问题,由?/p>
1
?/p>
x
?/p>
0
2
)
(
2
?/p>
?/p>
?/p>
?
x
a
x
x
x
f
恒成立,则此问题?/p>
价于
)
1
(
0
2
)
(
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
x
a
x
x
x
?/p>
恒成立,又等价于
1
?/p>
x
?/p>
)
(
x
?/p>
的最小?/p>
0
?/p>
恒成?/p>
.
由于
1
)
1
(
)
(
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
a
x
x
?/p>
?/p>
1
?/p>
x
时为增函数,所?/p>
3
)
1
(
)
(
min
?/p>
?/p>
?/p>
a
x
?/p>
?/p>
,于?/p>
3
0
a
?/p>
?/p>
?
3
a
?/p>
?/p>
.
?/p>
?/p>
2
?/p>
问是一个恰成立问题?/p>
即当
1
?/p>
x
时,
)
(
x
f
的值域恰为
)
,
0
[
,
?/p>
?/p>
1
?/p>
不同的是?/p>
?/p>
1
?/p>
?/p>
1
?/p>
x
时,
0
)
(
?/p>
x
f
恒成立,因此允许?/p>
1
?/p>
x
时,
)
(
x
f
的取值为
)
,
2
[
?/p>
)
,
3
[
?/p>
------
等等
.
?/p>
)
(
x
f
的值域?/p>
)
,
0
[
,则?/p>
1
?/p>
x
时,
)
(
x
f
只能?/p>
)
,
0
[
,而不能是其他
.