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- 1 - 

第一?/p>

    

注意添加平行线证?/p>

 

    

在同一平面?/p>

,

不相交的两条直线叫平行线

.

平行线是初中平面几何最基本?/p>

,

也是非常

重要的图?/p>

.

在证明某些平面几何问题时

,

若能依据证题的需?/p>

,

添加恰当的平行线

,

则能?/p>

证明顺畅、简?/p>

. 

    

添加平行线证?/p>

,

一般有如下四种情况

. 

1   

为了改变角的位置

 

    

大家知道

,

两条平行直线被第三条直线所?/p>

,

同位角相?/p>

,

内错角相?/p>

,

同旁内角互补

.

?/p>

用这些性质

,

常可通过添加平行?/p>

,

将某些角的位置改?/p>

,

以满足求解的需?/p>

. 

?/p>

1

  

?/p>

P

?/p>

Q

为线?/p>

BC

上两?/p>

,

?/p>

BP

?/p>

CQ

,

A

?/p>

BC

外一动点

(

如图

1).

当点

A

运动到使

 

?/p>

BAP

=∠

CAQ

??/p>

ABC

是什么三角形?试证明你的结论

. 

答:

 

当点

A

运动到使?/p>

BAP

=∠

CAQ

??/p>

ABC

为等腰三角形

. 

证明:如?/p>

1,

分别过点

P

?/p>

B

?/p>

AC

?/p>

AQ

的平行线得交?/p>

D

.

连结

DA

. 

在△

DBP

=∠

AQC

?/p>

,

显然

 

?/p>

DBP

=∠

AQC

,?/p>

DPB

=∠

C

. 

?/p>

BP

?/p>

CQ

,

可知

             

?/p>

DBP

≌△

AQC

.          

?/p>

DP

?/p>

AC

,?/p>

BDP

=∠

QAC

. 

于是

,

DA

?/p>

BP

,?/p>

BAP

=∠

BDP

. 

?/p>

A

?/p>

D

?/p>

B

?/p>

P

四点共圆

,

且四边形

ADBP

为等腰梯?/p>

.

?/p>

AB

?/p>

DP

. 

    

所?/p>

AB

?/p>

AC

. 

    

这里

,

通过作平行线

,

将∠

QAC

“平推”到?/p>

BDP

的位?/p>

.

由于

A

?/p>

D

?/p>

B

?/p>

P

四点共圆

,

使证明很顺畅

. 

?/p>

2

  

如图

2,

四边?/p>

ABCD

为平行四边形

,

?/p>

BAF

=∠

BCE

.

求证:∠

EBA

=∠

ADE

.

 

 

证明?/p>

如图

2,

分别过点

A

?/p>

B

?/p>

ED

?/p>

EC

的平行线

,

得交?/p>

P

,

?/p>

PE

. 

    

?/p>

AB 

 

 

 

CD

,

易知?/p>

PBA

≌△

ECD

.

?/p>

PA

?/p>

ED

,

PB

?/p>

EC

. 

    

显然

,

四边?/p>

PBCE

?/p>

PADE

均为平行四边?/p>

.

?/p>

   

?/p>

BCE

=∠

BPE

,?/p>

APE

=∠

ADE

. 

    

由∠

BAF

=∠

BCE

,

可知

    

?/p>

BAF

=∠

BPE

. 

    

?/p>

P

?/p>

B

?/p>

A

?/p>

E

四点共圆

.    

于是,?/p>

EBA

=∠

APE

.    

所??/p>

EBA

=∠

ADE

. 

    

这里

,

通过添加平行?/p>

,

使已知与未知中的四个角通过

P

?/p>

B

?/p>

A

?/p>

E

四点共圆

,

紧密联系

起来.?/p>

APE

成为?/p>

EBA

与∠

ADE

相等的媒?/p>

,

证法很巧?/p>

. 

2   

欲“送”线段到当处

 

    

利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条

,

常可通过添加

平行?/p>

,

将某些线段“送”到恰当位置

,

以证?/p>

. 

?/p>

3

  

在△

ABC

?/p>

,

BD

?/p>

CE

为角平分?/p>

,

P

?/p>

ED

上任意一?/p>

.

?/p>

P

分别?/p>

AC

?/p>

AB

?/p>

BC

?/p>

垂线

,

M

?/p>

N

?/p>

Q

为垂?/p>

.

求证?/p>

PM

?/p>

PN

?/p>

PQ

. 

证明?/p>

如图

3,

过点

P

?/p>

AB

的平行线?/p>

BD

?/p>

F

,

过点

F

?/p>

BC

的平行线分别?/p>

PQ

?/p>

AC 

?/p>

K

?/p>

G

,

?/p>

PG

. 

    

?/p>

BD

平行?/p>

ABC

,

可知?/p>

F

?/p>

AB

?/p>

BC

两边距离相等

.

?/p>

KQ

?/p>

PN

.

 

 

    

显然

,

PD

EP

?/p>

FD

EF

?/p>

GD

CG

,

可知

PG

?/p>

EC

. 

    

?/p>

CE

平分?/p>

BCA

,

?/p>

GP

平分?/p>

FGA

.

?/p>

PK

?/p>

PM

.

于是

, 

    

PM

?/p>

PN

?/p>

PK

?/p>

KQ

?/p>

PQ

. 

    

这里

,

通过添加平行?/p>

,

?/p>

PQ

“掐开”成两段

,

证得

PM

?/p>

PK

,

就有

PM

?/p>

PN

?/p>

PQ

.

证法

非常简?/p>

. 

3   

为了线段比的转化

 

Ͼλ
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工具

- 1 - 

第一?/p>

    

注意添加平行线证?/p>

 

    

在同一平面?/p>

,

不相交的两条直线叫平行线

.

平行线是初中平面几何最基本?/p>

,

也是非常

重要的图?/p>

.

在证明某些平面几何问题时

,

若能依据证题的需?/p>

,

添加恰当的平行线

,

则能?/p>

证明顺畅、简?/p>

. 

    

添加平行线证?/p>

,

一般有如下四种情况

. 

1   

为了改变角的位置

 

    

大家知道

,

两条平行直线被第三条直线所?/p>

,

同位角相?/p>

,

内错角相?/p>

,

同旁内角互补

.

?/p>

用这些性质

,

常可通过添加平行?/p>

,

将某些角的位置改?/p>

,

以满足求解的需?/p>

. 

?/p>

1

  

?/p>

P

?/p>

Q

为线?/p>

BC

上两?/p>

,

?/p>

BP

?/p>

CQ

,

A

?/p>

BC

外一动点

(

如图

1).

当点

A

运动到使

 

?/p>

BAP

=∠

CAQ

??/p>

ABC

是什么三角形?试证明你的结论

. 

答:

 

当点

A

运动到使?/p>

BAP

=∠

CAQ

??/p>

ABC

为等腰三角形

. 

证明:如?/p>

1,

分别过点

P

?/p>

B

?/p>

AC

?/p>

AQ

的平行线得交?/p>

D

.

连结

DA

. 

在△

DBP

=∠

AQC

?/p>

,

显然

 

?/p>

DBP

=∠

AQC

,?/p>

DPB

=∠

C

. 

?/p>

BP

?/p>

CQ

,

可知

             

?/p>

DBP

≌△

AQC

.          

?/p>

DP

?/p>

AC

,?/p>

BDP

=∠

QAC

. 

于是

,

DA

?/p>

BP

,?/p>

BAP

=∠

BDP

. 

?/p>

A

?/p>

D

?/p>

B

?/p>

P

四点共圆

,

且四边形

ADBP

为等腰梯?/p>

.

?/p>

AB

?/p>

DP

. 

    

所?/p>

AB

?/p>

AC

. 

    

这里

,

通过作平行线

,

将∠

QAC

“平推”到?/p>

BDP

的位?/p>

.

由于

A

?/p>

D

?/p>

B

?/p>

P

四点共圆

,

使证明很顺畅

. 

?/p>

2

  

如图

2,

四边?/p>

ABCD

为平行四边形

,

?/p>

BAF

=∠

BCE

.

求证:∠

EBA

=∠

ADE

.

 

 

证明?/p>

如图

2,

分别过点

A

?/p>

B

?/p>

ED

?/p>

EC

的平行线

,

得交?/p>

P

,

?/p>

PE

. 

    

?/p>

AB 

 

 

 

CD

,

易知?/p>

PBA

≌△

ECD

.

?/p>

PA

?/p>

ED

,

PB

?/p>

EC

. 

    

显然

,

四边?/p>

PBCE

?/p>

PADE

均为平行四边?/p>

.

?/p>

   

?/p>

BCE

=∠

BPE

,?/p>

APE

=∠

ADE

. 

    

由∠

BAF

=∠

BCE

,

可知

    

?/p>

BAF

=∠

BPE

. 

    

?/p>

P

?/p>

B

?/p>

A

?/p>

E

四点共圆

.    

于是,?/p>

EBA

=∠

APE

.    

所??/p>

EBA

=∠

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. 

    

这里

,

通过添加平行?/p>

,

使已知与未知中的四个角通过

P

?/p>

B

?/p>

A

?/p>

E

四点共圆

,

紧密联系

起来.?/p>

APE

成为?/p>

EBA

与∠

ADE

相等的媒?/p>

,

证法很巧?/p>

. 

2   

欲“送”线段到当处

 

    

利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条

,

常可通过添加

平行?/p>

,

将某些线段“送”到恰当位置

,

以证?/p>

. 

?/p>

3

  

在△

ABC

?/p>

,

BD

?/p>

CE

为角平分?/p>

,

P

?/p>

ED

上任意一?/p>

.

?/p>

P

分别?/p>

AC

?/p>

AB

?/p>

BC

?/p>

垂线

,

M

?/p>

N

?/p>

Q

为垂?/p>

.

求证?/p>

PM

?/p>

PN

?/p>

PQ

. 

证明?/p>

如图

3,

过点

P

?/p>

AB

的平行线?/p>

BD

?/p>

F

,

过点

F

?/p>

BC

的平行线分别?/p>

PQ

?/p>

AC 

?/p>

K

?/p>

G

,

?/p>

PG

. 

    

?/p>

BD

平行?/p>

ABC

,

可知?/p>

F

?/p>

AB

?/p>

BC

两边距离相等

.

?/p>

KQ

?/p>

PN

.

 

 

    

显然

,

PD

EP

?/p>

FD

EF

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CG

,

可知

PG

?/p>

EC

. 

    

?/p>

CE

平分?/p>

BCA

,

?/p>

GP

平分?/p>

FGA

.

?/p>

PK

?/p>

PM

.

于是

, 

    

PM

?/p>

PN

?/p>

PK

?/p>

KQ

?/p>

PQ

. 

    

这里

,

通过添加平行?/p>

,

?/p>

PQ

“掐开”成两段

,

证得

PM

?/p>

PK

,

就有

PM

?/p>

PN

?/p>

PQ

.

证法

非常简?/p>

. 

3   

为了线段比的转化

 

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- 1 - 

第一?/p>

    

注意添加平行线证?/p>

 

    

在同一平面?/p>

,

不相交的两条直线叫平行线

.

平行线是初中平面几何最基本?/p>

,

也是非常

重要的图?/p>

.

在证明某些平面几何问题时

,

若能依据证题的需?/p>

,

添加恰当的平行线

,

则能?/p>

证明顺畅、简?/p>

. 

    

添加平行线证?/p>

,

一般有如下四种情况

. 

1   

为了改变角的位置

 

    

大家知道

,

两条平行直线被第三条直线所?/p>

,

同位角相?/p>

,

内错角相?/p>

,

同旁内角互补

.

?/p>

用这些性质

,

常可通过添加平行?/p>

,

将某些角的位置改?/p>

,

以满足求解的需?/p>

. 

?/p>

1

  

?/p>

P

?/p>

Q

为线?/p>

BC

上两?/p>

,

?/p>

BP

?/p>

CQ

,

A

?/p>

BC

外一动点

(

如图

1).

当点

A

运动到使

 

?/p>

BAP

=∠

CAQ

??/p>

ABC

是什么三角形?试证明你的结论

. 

答:

 

当点

A

运动到使?/p>

BAP

=∠

CAQ

??/p>

ABC

为等腰三角形

. 

证明:如?/p>

1,

分别过点

P

?/p>

B

?/p>

AC

?/p>

AQ

的平行线得交?/p>

D

.

连结

DA

. 

在△

DBP

=∠

AQC

?/p>

,

显然

 

?/p>

DBP

=∠

AQC

,?/p>

DPB

=∠

C

. 

?/p>

BP

?/p>

CQ

,

可知

             

?/p>

DBP

≌△

AQC

.          

?/p>

DP

?/p>

AC

,?/p>

BDP

=∠

QAC

. 

于是

,

DA

?/p>

BP

,?/p>

BAP

=∠

BDP

. 

?/p>

A

?/p>

D

?/p>

B

?/p>

P

四点共圆

,

且四边形

ADBP

为等腰梯?/p>

.

?/p>

AB

?/p>

DP

. 

    

所?/p>

AB

?/p>

AC

. 

    

这里

,

通过作平行线

,

将∠

QAC

“平推”到?/p>

BDP

的位?/p>

.

由于

A

?/p>

D

?/p>

B

?/p>

P

四点共圆

,

使证明很顺畅

. 

?/p>

2

  

如图

2,

四边?/p>

ABCD

为平行四边形

,

?/p>

BAF

=∠

BCE

.

求证:∠

EBA

=∠

ADE

.

 

 

证明?/p>

如图

2,

分别过点

A

?/p>

B

?/p>

ED

?/p>

EC

的平行线

,

得交?/p>

P

,

?/p>

PE

. 

    

?/p>

AB 

 

 

 

CD

,

易知?/p>

PBA

≌△

ECD

.

?/p>

PA

?/p>

ED

,

PB

?/p>

EC

. 

    

显然

,

四边?/p>

PBCE

?/p>

PADE

均为平行四边?/p>

.

?/p>

   

?/p>

BCE

=∠

BPE

,?/p>

APE

=∠

ADE

. 

    

由∠

BAF

=∠

BCE

,

可知

    

?/p>

BAF

=∠

BPE

. 

    

?/p>

P

?/p>

B

?/p>

A

?/p>

E

四点共圆

.    

于是,?/p>

EBA

=∠

APE

.    

所??/p>

EBA

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. 

    

这里

,

通过添加平行?/p>

,

使已知与未知中的四个角通过

P

?/p>

B

?/p>

A

?/p>

E

四点共圆

,

紧密联系

起来.?/p>

APE

成为?/p>

EBA

与∠

ADE

相等的媒?/p>

,

证法很巧?/p>

. 

2   

欲“送”线段到当处

 

    

利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条

,

常可通过添加

平行?/p>

,

将某些线段“送”到恰当位置

,

以证?/p>

. 

?/p>

3

  

在△

ABC

?/p>

,

BD

?/p>

CE

为角平分?/p>

,

P

?/p>

ED

上任意一?/p>

.

?/p>

P

分别?/p>

AC

?/p>

AB

?/p>

BC

?/p>

垂线

,

M

?/p>

N

?/p>

Q

为垂?/p>

.

求证?/p>

PM

?/p>

PN

?/p>

PQ

. 

证明?/p>

如图

3,

过点

P

?/p>

AB

的平行线?/p>

BD

?/p>

F

,

过点

F

?/p>

BC

的平行线分别?/p>

PQ

?/p>

AC 

?/p>

K

?/p>

G

,

?/p>

PG

. 

    

?/p>

BD

平行?/p>

ABC

,

可知?/p>

F

?/p>

AB

?/p>

BC

两边距离相等

.

?/p>

KQ

?/p>

PN

.

 

 

    

显然

,

PD

EP

?/p>

FD

EF

?/p>

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CG

,

可知

PG

?/p>

EC

. 

    

?/p>

CE

平分?/p>

BCA

,

?/p>

GP

平分?/p>

FGA

.

?/p>

PK

?/p>

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.

于是

, 

    

PM

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PN

?/p>

PK

?/p>

KQ

?/p>

PQ

. 

    

这里

,

通过添加平行?/p>

,

?/p>

PQ

“掐开”成两段

,

证得

PM

?/p>

PK

,

就有

PM

?/p>

PN

?/p>

PQ

.

证法

非常简?/p>

. 

3   

为了线段比的转化

 

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高中数学竞赛题之平面几何 - 百度文库
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- 1 - 

第一?/p>

    

注意添加平行线证?/p>

 

    

在同一平面?/p>

,

不相交的两条直线叫平行线

.

平行线是初中平面几何最基本?/p>

,

也是非常

重要的图?/p>

.

在证明某些平面几何问题时

,

若能依据证题的需?/p>

,

添加恰当的平行线

,

则能?/p>

证明顺畅、简?/p>

. 

    

添加平行线证?/p>

,

一般有如下四种情况

. 

1   

为了改变角的位置

 

    

大家知道

,

两条平行直线被第三条直线所?/p>

,

同位角相?/p>

,

内错角相?/p>

,

同旁内角互补

.

?/p>

用这些性质

,

常可通过添加平行?/p>

,

将某些角的位置改?/p>

,

以满足求解的需?/p>

. 

?/p>

1

  

?/p>

P

?/p>

Q

为线?/p>

BC

上两?/p>

,

?/p>

BP

?/p>

CQ

,

A

?/p>

BC

外一动点

(

如图

1).

当点

A

运动到使

 

?/p>

BAP

=∠

CAQ

??/p>

ABC

是什么三角形?试证明你的结论

. 

答:

 

当点

A

运动到使?/p>

BAP

=∠

CAQ

??/p>

ABC

为等腰三角形

. 

证明:如?/p>

1,

分别过点

P

?/p>

B

?/p>

AC

?/p>

AQ

的平行线得交?/p>

D

.

连结

DA

. 

在△

DBP

=∠

AQC

?/p>

,

显然

 

?/p>

DBP

=∠

AQC

,?/p>

DPB

=∠

C

. 

?/p>

BP

?/p>

CQ

,

可知

             

?/p>

DBP

≌△

AQC

.          

?/p>

DP

?/p>

AC

,?/p>

BDP

=∠

QAC

. 

于是

,

DA

?/p>

BP

,?/p>

BAP

=∠

BDP

. 

?/p>

A

?/p>

D

?/p>

B

?/p>

P

四点共圆

,

且四边形

ADBP

为等腰梯?/p>

.

?/p>

AB

?/p>

DP

. 

    

所?/p>

AB

?/p>

AC

. 

    

这里

,

通过作平行线

,

将∠

QAC

“平推”到?/p>

BDP

的位?/p>

.

由于

A

?/p>

D

?/p>

B

?/p>

P

四点共圆

,

使证明很顺畅

. 

?/p>

2

  

如图

2,

四边?/p>

ABCD

为平行四边形

,

?/p>

BAF

=∠

BCE

.

求证:∠

EBA

=∠

ADE

.

 

 

证明?/p>

如图

2,

分别过点

A

?/p>

B

?/p>

ED

?/p>

EC

的平行线

,

得交?/p>

P

,

?/p>

PE

. 

    

?/p>

AB 

 

 

 

CD

,

易知?/p>

PBA

≌△

ECD

.

?/p>

PA

?/p>

ED

,

PB

?/p>

EC

. 

    

显然

,

四边?/p>

PBCE

?/p>

PADE

均为平行四边?/p>

.

?/p>

   

?/p>

BCE

=∠

BPE

,?/p>

APE

=∠

ADE

. 

    

由∠

BAF

=∠

BCE

,

可知

    

?/p>

BAF

=∠

BPE

. 

    

?/p>

P

?/p>

B

?/p>

A

?/p>

E

四点共圆

.    

于是,?/p>

EBA

=∠

APE

.    

所??/p>

EBA

=∠

ADE

. 

    

这里

,

通过添加平行?/p>

,

使已知与未知中的四个角通过

P

?/p>

B

?/p>

A

?/p>

E

四点共圆

,

紧密联系

起来.?/p>

APE

成为?/p>

EBA

与∠

ADE

相等的媒?/p>

,

证法很巧?/p>

. 

2   

欲“送”线段到当处

 

    

利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条

,

常可通过添加

平行?/p>

,

将某些线段“送”到恰当位置

,

以证?/p>

. 

?/p>

3

  

在△

ABC

?/p>

,

BD

?/p>

CE

为角平分?/p>

,

P

?/p>

ED

上任意一?/p>

.

?/p>

P

分别?/p>

AC

?/p>

AB

?/p>

BC

?/p>

垂线

,

M

?/p>

N

?/p>

Q

为垂?/p>

.

求证?/p>

PM

?/p>

PN

?/p>

PQ

. 

证明?/p>

如图

3,

过点

P

?/p>

AB

的平行线?/p>

BD

?/p>

F

,

过点

F

?/p>

BC

的平行线分别?/p>

PQ

?/p>

AC 

?/p>

K

?/p>

G

,

?/p>

PG

. 

    

?/p>

BD

平行?/p>

ABC

,

可知?/p>

F

?/p>

AB

?/p>

BC

两边距离相等

.

?/p>

KQ

?/p>

PN

.

 

 

    

显然

,

PD

EP

?/p>

FD

EF

?/p>

GD

CG

,

可知

PG

?/p>

EC

. 

    

?/p>

CE

平分?/p>

BCA

,

?/p>

GP

平分?/p>

FGA

.

?/p>

PK

?/p>

PM

.

于是

, 

    

PM

?/p>

PN

?/p>

PK

?/p>

KQ

?/p>

PQ

. 

    

这里

,

通过添加平行?/p>

,

?/p>

PQ

“掐开”成两段

,

证得

PM

?/p>

PK

,

就有

PM

?/p>

PN

?/p>

PQ

.

证法

非常简?/p>

. 

3   

为了线段比的转化

 



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