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第一?/p>
注意添加平行线证?/p>
在同一平面?/p>
,
不相交的两条直线叫平行线
.
平行线是初中平面几何最基本?/p>
,
也是非常
重要的图?/p>
.
在证明某些平面几何问题时
,
若能依据证题的需?/p>
,
添加恰当的平行线
,
则能?/p>
证明顺畅、简?/p>
.
添加平行线证?/p>
,
一般有如下四种情况
.
1
为了改变角的位置
大家知道
,
两条平行直线被第三条直线所?/p>
,
同位角相?/p>
,
内错角相?/p>
,
同旁内角互补
.
?/p>
用这些性质
,
常可通过添加平行?/p>
,
将某些角的位置改?/p>
,
以满足求解的需?/p>
.
?/p>
1
?/p>
P
?/p>
Q
为线?/p>
BC
上两?/p>
,
?/p>
BP
?/p>
CQ
,
A
?/p>
BC
外一动点
(
如图
1).
当点
A
运动到使
?/p>
BAP
=∠
CAQ
??/p>
ABC
是什么三角形?试证明你的结论
.
答:
当点
A
运动到使?/p>
BAP
=∠
CAQ
??/p>
ABC
为等腰三角形
.
证明:如?/p>
1,
分别过点
P
?/p>
B
?/p>
AC
?/p>
AQ
的平行线得交?/p>
D
.
连结
DA
.
在△
DBP
=∠
AQC
?/p>
,
显然
?/p>
DBP
=∠
AQC
,?/p>
DPB
=∠
C
.
?/p>
BP
?/p>
CQ
,
可知
?/p>
DBP
≌△
AQC
.
?/p>
DP
?/p>
AC
,?/p>
BDP
=∠
QAC
.
于是
,
DA
?/p>
BP
,?/p>
BAP
=∠
BDP
.
?/p>
A
?/p>
D
?/p>
B
?/p>
P
四点共圆
,
且四边形
ADBP
为等腰梯?/p>
.
?/p>
AB
?/p>
DP
.
所?/p>
AB
?/p>
AC
.
这里
,
通过作平行线
,
将∠
QAC
“平推”到?/p>
BDP
的位?/p>
.
由于
A
?/p>
D
?/p>
B
?/p>
P
四点共圆
,
使证明很顺畅
.
?/p>
2
如图
2,
四边?/p>
ABCD
为平行四边形
,
?/p>
BAF
=∠
BCE
.
求证:∠
EBA
=∠
ADE
.
证明?/p>
如图
2,
分别过点
A
?/p>
B
?/p>
ED
?/p>
EC
的平行线
,
得交?/p>
P
,
?/p>
PE
.
?/p>
AB
CD
,
易知?/p>
PBA
≌△
ECD
.
?/p>
PA
?/p>
ED
,
PB
?/p>
EC
.
显然
,
四边?/p>
PBCE
?/p>
PADE
均为平行四边?/p>
.
?/p>
?/p>
BCE
=∠
BPE
,?/p>
APE
=∠
ADE
.
由∠
BAF
=∠
BCE
,
可知
?/p>
BAF
=∠
BPE
.
?/p>
P
?/p>
B
?/p>
A
?/p>
E
四点共圆
.
于是,?/p>
EBA
=∠
APE
.
所??/p>
EBA
=∠
ADE
.
这里
,
通过添加平行?/p>
,
使已知与未知中的四个角通过
P
?/p>
B
?/p>
A
?/p>
E
四点共圆
,
紧密联系
起来.?/p>
APE
成为?/p>
EBA
与∠
ADE
相等的媒?/p>
,
证法很巧?/p>
.
2
欲“送”线段到当处
利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条
,
常可通过添加
平行?/p>
,
将某些线段“送”到恰当位置
,
以证?/p>
.
?/p>
3
在△
ABC
?/p>
,
BD
?/p>
CE
为角平分?/p>
,
P
?/p>
ED
上任意一?/p>
.
?/p>
P
分别?/p>
AC
?/p>
AB
?/p>
BC
?/p>
垂线
,
M
?/p>
N
?/p>
Q
为垂?/p>
.
求证?/p>
PM
?/p>
PN
?/p>
PQ
.
证明?/p>
如图
3,
过点
P
?/p>
AB
的平行线?/p>
BD
?/p>
F
,
过点
F
?/p>
BC
的平行线分别?/p>
PQ
?/p>
AC
?/p>
K
?/p>
G
,
?/p>
PG
.
?/p>
BD
平行?/p>
ABC
,
可知?/p>
F
?/p>
AB
?/p>
BC
两边距离相等
.
?/p>
KQ
?/p>
PN
.
显然
,
PD
EP
?/p>
FD
EF
?/p>
GD
CG
,
可知
PG
?/p>
EC
.
?/p>
CE
平分?/p>
BCA
,
?/p>
GP
平分?/p>
FGA
.
?/p>
PK
?/p>
PM
.
于是
,
PM
?/p>
PN
?/p>
PK
?/p>
KQ
?/p>
PQ
.
这里
,
通过添加平行?/p>
,
?/p>
PQ
“掐开”成两段
,
证得
PM
?/p>
PK
,
就有
PM
?/p>
PN
?/p>
PQ
.
证法
非常简?/p>
.
3
为了线段比的转化