1
函数与方?/p>
【知识梳理?/p>
1
、函数零点的定义
?/p>
1
)对于函?/p>
)
(
x
f
y
?/p>
,我们把方程
0
)
(
?/p>
x
f
的实数根叫做函数
)
(
x
f
y
?/p>
的零点?/p>
?/p>
2
)方?/p>
0
)
(
?/p>
x
f
有实?/p>
?/p>
函数
(
)
y
f
x
?/p>
的图像与
x
轴有交点
?/p>
函数
(
)
y
f
x
?/p>
有零点。因此判断一?/p>
函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程
0
)
(
?/p>
x
f
是否有实数根,有几个实数根。函数零点的求法?/p>
解方?/p>
0
)
(
?/p>
x
f
,所得实数根就是
(
)
f
x
的零?/p>
?/p>
3
)变号零点与不变号零?/p>
①若函数
(
)
f
x
在零?/p>
0
x
左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数
(
)
f
x
的变号零点?/p>
②若函数
(
)
f
x
在零?/p>
0
x
左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数
(
)
f
x
的不变号零点?/p>
③若函数
(
)
f
x
在区?/p>
?/p>
?/p>
,
a
b
上的图像是一条连续的曲线,则
0
)
(
)
(
?/p>
b
f
a
f
?/p>
(
)
f
x
在区?/p>
?/p>
?/p>
,
a
b
内有零点的充?/p>
不必要条件?/p>
2
、函数零点的判定
?/p>
1
)零点存在性定理:如果函数
)
(
x
f
y
?/p>
在区?/p>
]
,
[
b
a
上的图象是连续不断的曲线,并且有
(
)
(
)
0
f
a
f
b
?/p>
?/p>
?/p>
那么,函?/p>
)
(
x
f
y
?/p>
在区?/p>
?/p>
?/p>
,
a
b
内有零点,即存在
)
,
(
0
b
a
x
?/p>
,使?/p>
0
)
(
0
?/p>
x
f
,这?/p>
0
x
也就是方?/p>
0
)
(
?/p>
x
f
?/p>
根?/p>
?/p>
2
)函?/p>
)
(
x
f
y
?/p>
零点个数(或方程
0
)
(
?/p>
x
f
实数根的个数)确定方?/p>
?/p>
代数法:函数
)
(
x
f
y
?/p>
的零?/p>
?/p>
0
)
(
?/p>
x
f
的根?/p>
②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数
)
(
x
f
y
?/p>
的图象联系起来,并利用函数的性质
找出零点?/p>
?/p>
3
)零点个数确?/p>
0
?/p>
?/p>
?/p>
)
(
x
f
y
?/p>
?/p>
2
个零?/p>
?/p>
0
)
(
?/p>
x
f
有两个不等实根;
0
?/p>
?/p>
?/p>
)
(
x
f
y
?/p>
?/p>
1
个零?/p>
?/p>
0
)
(
?/p>
x
f
有两个相等实根;
0
?/p>
?/p>
?/p>
)
(
x
f
y
?/p>
无零?/p>
?/p>
0
)
(
?/p>
x
f
无实根;对于二次函数在区?/p>
?/p>
?/p>
,
a
b
上的零点个数,要结合图像进行?/p>
?/p>
.
1
?/p>
二分?/p>
?/p>
1
)二分法的定?/p>
:
对于在区?/p>
[
,
]
a
b
上连续不断且
(
)
(
)
0
f
a
f
b
?/p>
?/p>
的函?/p>
(
)
y
f
x
?/p>
,
通过不断地把函数
(
)
y
f
x
?/p>
的零点所在的区间一分为?/p>
,
使区间的两个端点逐步逼近零点
,
进而得到零点的近似值的方法叫做二分?/p>
;
?/p>
2
)用二分法求方程的近似解的步?/p>
:
?/p>
确定区间
[
,
]
a
b
,
验证
(
)
(
)
0
f
a
f
b
?/p>
?/p>
,
给定精确?/p>
?/p>
;
②求区间
(
,
)
a
b
的中?/p>
c
;