【第
1
?/p>
?/p>
42
页?/p>
第三?/p>
3.12.
一年级?/p>
100
名学生参加中文,英语和数学的考试,其?/p>
92
人通过中文考试?/p>
75
人?
过英语考试?/p>
65
人通过数学考试;其?/p>
65
人通过中,英文考试?/p>
54
人通过中文和数?/p>
考试?/p>
45
人通过英语和数学考试,试求通过
3
门学科考试的学生数?/p>
[
?/p>
]
.
令:
A
1
={
通过中文考试的学?/p>
}
A
2
={
通过英语考试的学?/p>
}
A
3
={
通过数学考试的学?/p>
}
于是
|Z| =100
?/p>
|A
1
|=92
?/p>
|A
2
|=75
?/p>
|A
3
|=65
|A
1
?/p>
A
2
|=65
?/p>
|A
1
?/p>
A
3
|=54
?/p>
|A
2
?/p>
A
3
|=45
此题没有给出?/p>
?/p>
有多少人通过三门中至少一门;
?/p>
有多少人一门都没通过?/p>
但是?/p>
max{ |A
1
|,|A
2
|,|A
3
| }=max{92,75,65}=92
故可以认为:
?/p>
至少?/p>
92
人通过三门中至少一门考试,即
100≥|A
1
?/p>
A
2
?/p>
A
3
|?2
?/p>
至多?/p>
8
人没通过一门考试,即
0≤|
1
A
?/p>
2
A
?/p>
3
A
| ?
于是,根据容斥原理,?/p>
|A
1
?/p>
A
2
?/p>
A
3
|=(|A
1
|+|A
2
|+|A
3
|)-(|A
1
∩A
2
|+|A
1
∩A
3
|+|A
2
∩A
3
|)+|A
1
∩A
2
∩A
3
|
?/p>
|A
1
∩A
2
∩A
3
|=|A
1
?/p>
A
2
?/p>
A
3
|-(|A
1
|+|A
2
|+|A
3
|)+(|A
1
∩A
2
|+|A
1
∩A
3
|+|A
2
∩A
3
|)
=|A
1
?/p>
A
2
?/p>
A
3
|-(92+75+65)+(65+54+45)
=
|A
1
?/p>
A
2
?/p>
A
3
|-232+164
=|A
1
?/p>
A
2
?/p>
A
3
|-68
从而由
92-
68?/p>
|A
1
?/p>
A
2
?/p>
A
3
|-
68?00
-68
?/p>
24?/p>
|A
1
?/p>
A
2
?/p>
A
3
|-
68?2
可得
24
≤|A
1
∩A
2
∩A
3
| ?2
故此,通过
3
门学科考试的学生数?/p>
24
?/p>
32
人之间?/p>
也可用容斥原理,?/p>
|
1
A
?/p>
2
A
?/p>
3
A
|
=
|Z|-(|A
1
|+|A
2
|+|A
3
|)+(|A
1
∩A
2
|+|A
1
∩A
3
|+|A
2
∩A
3
|)-|A
1
∩A
2
∩A
3
|
=
100-(92+75+65)+(65+54+45)-|A
1
∩A
2
∩A
3
|
=100-232+164-|A
1
∩A
2
∩A
3
|