1
一、等差数列知识梳?/p>
1.
定义?/p>
如果一个数列从?/p>
2
项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,?/p>
个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字?/p>
d
表示
.
数学语言表达式:
a
n
?/p>
1
?/p>
a
n
?/p>
d
(
n
?/p>
N
*
?/p>
d
为常?/p>
)
,或
a
n
?/p>
a
n
?/p>
1
?/p>
d
(
n
?
?/p>
d
为常?/p>
).
2.
通项公式?/p>
若等差数?/p>
{
a
n
}
的首项是
a
1
,公差是
d
,则其通项公式?/p>
a
n
?/p>
a
1
?/p>
(
n
?/p>
1)
d
.
3.
?/p>
n
项和公式
?/p>
2
2
1
1
1
)
(
)
(
n
n
a
a
n
d
n
n
na
S
?/p>
?
?/p>
?
?/p>
其中
n
?/p>
N
*
?/p>
a
1
为首项,
d
为公差,
3.
等差数列的常用性质?/p>
已知数列
{
a
n
}
是等差数列,
S
n
?/p>
{
a
n
}
的前
n
项和
.
(1)
通项公式的推广:
*)
,
(
)
(
N
m
n
d
m
n
a
a
m
n
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
(2)
?/p>
m
?/p>
n
?/p>
p
?/p>
q
(
m
?/p>
n
?/p>
p
?/p>
q
?/p>
N
*
)
,则?/p>
q
p
n
m
a
a
a
a
?/p>
?/p>
?/p>
。特别的,当
p
n
m
2
?/p>
?/p>
时,
p
n
m
a
a
a
2
?/p>
?/p>
(3)
等差数列
{
a
n
}
的单调性:?/p>
d
?/p>
0
时,
{
a
n
}
是递增数列;当
d
?/p>
0
时,
{
a
n
}
是递减数列;当
d
?/p>
0
时,
{
a
n
}
是常
数列
.
(4)
?/p>
{
a
n
}
是等差数列,公差?/p>
d
,则
a
k
?/p>
a
k
?/p>
m
?/p>
a
k
?/p>
2
m
?/p>
?
k
?/p>
m
?/p>
N
*
)
是公差为
md
的等差数?/p>
.
(5)
?/p>
}
{
},
{
n
n
b
a
是等差数列,?/p>
}
{
n
n
qb
pa
?/p>
仍是等差数列
.
4.
与等差数列各项和相关的性质
?/p>
1
)若
}
{
n
a
是等差数列,?/p>
}
{
n
S
n
也是等差数列,其首项?/p>
}
{
n
a
的首项相同,公差?/p>
}
{
n
a
的公差的
2
1
?/p>
?/p>
2
)数?/p>
m
m
m
m
m
S
S
S
S
S
2
3
2
?/p>
?/p>
,
,
?/p>
也是等差数列
.
?/p>
3
)关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质?/p>
a
.
若项数为
n
2
,则
1
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
n
n
a
a
S
S
nd
S
S
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,
?/p>
b
.
若项数为
1
2
?/p>
n
,则
n
a
n
n
S
)
(
1
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
n
na
S
?/p>
?/p>
?/p>
1
?/p>
?
?/p>
?/p>
n
n
S
S
a
S
S
n
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,
?/p>
?/p>
4
)若两个等差数列
}
{
},
{
n
n
b
a
的前
n
项和分别?/p>
n
n
T
S
,
,则
1
2
1
2
?/p>
?/p>
?/p>
n
n
n
n
T
S
b
a
5.
等差数列的前
n
项和公式与函数的关系?/p>
?/p>
1
?/p>
n
d
a
n
d
S
)
(
2
2
1
2
?/p>
?/p>
?
,数?/p>
{
a
n
}
是等差数?/p>
?
S
n
?/p>
An
2
?/p>
Bn
(
A
?/p>
B
为常?/p>
).
?/p>
2
)在等差数列
{
a
n
}
中,
a
1
?/p>
0
?/p>
d
?/p>
0
,则
S
n
存在最大值;
a
1
?/p>
0
?/p>
d
?/p>
0
,则
S
n
存在最小?/p>
.
二、考点梳理