1
2007
年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试?/p>
说明
:
第一试每?/p>
50
?/p>
,
?/p>
150
?/p>
;
第二试每?/p>
15
?/p>
,
?/p>
150
?/p>
.
第一?/p>
1.
已知
a
?/p>
0,
并且关于
x
的方?/p>
ax
2
?/p>
bx
?/p>
a+3=0
①至多有一个解
,
试问
:
关于
x
的方?/p>
(b
?/p>
3)x
2
+(a
?/p>
2b)x+3a+3=0
②是否一定有?/p>
?
并证明你的结?/p>
.
2.
已知?/p>
D
为等腰△
ABC
的底?/p>
BC
的中?/p>
,P
?/p>
AB
线段内部的任意一?/p>
,
?/p>
BP
的垂直平分线与直
?/p>
AD
交于?/p>
E,PC
?/p>
AD
交于?/p>
F.
求证
:
直线
EP
是△
APF
的外接圆的切?/p>
.
3.
?/p>
1,2,
?/p>
,2 007
?/p>
2 007
个正整数?/p>
,
最多可以取出多少个?/p>
,
使得所取出的数中的每一个都?/p>
2 007
互质
,
并且所取出的数中的任意三个的和都不?/p>
7
的倍数
.
第二?/p>
1.
已知?/p>
Rt
?/p>
ABC
?/p>
,
?/p>
C=90
°
,
2
6
1
BC
AC
?/p>
?/p>
,
?/p>
AC
AB
=________________ .
2.
已知
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
2007
1
2007
c
a
1,
b
a
2
2
c
b
,
则代数式
2007
2008
2007
2008
c)
-
(2007
b
c
a
?/p>
化简的最后结果是
_________.
3.
代数?/p>
113
3
x
2
?/p>
?/p>
110x
的最小值为
__________________.
4.
如果一个直角三角形的两条直角边的乘积等于它的斜边的平方?/p>
4
1
,
那么
,
这个直角三角形中较大
的锐角的度数?/p>
________________.
5.
已知在直角坐标系
xOy
?/p>
,
?/p>
ABC
的三个顶点分别为
A(2
2
,
2
+
6
)
?/p>
B(
2
,
2
)
?/p>
C(5
2
,
2
).
则△
ABC
的边
BC
上的高与?/p>
ABC
的平分线的交点的坐标?/p>
___________.
6.
已知某工厂一月份生产某产?/p>
1
万件
,
二月份生?/p>
1.2
万件
,
三月份生?/p>
1.3
万件
,n
月份生产
ab
n
+c
?/p>
?/p>
,
其中
a
?/p>
b
?/p>
c
都是常数
,n=1,2,
?/p>
,12,
则该工厂四月份生?/p>
___________________
万件
.
7.
方程
3x
3
+2
2
x
2
?/p>
(17
?/p>
9
2
)x
?/p>
(6
?/p>
5
2
)=0
的解?/p>
x
1
= ________,x
2
=______ ,x
3
=______ .
8.
已知矩形
ABCD
的周长的平方与面积的比为
k.
则矩?/p>
ABCD
的较长的一边与较短的一边的长度?/p>
比等?/p>
_____________.
9.
已知正方形纸?/p>
ABCD
的面积为
2 007 cm
2
.
现将该纸片沿一条线段折?/p>
(
如图
1),
使点
D
落在?/p>
BC
上的?/p>
D
′处
,
?/p>
A
落在?/p>
A
′处
,A
?/p>
D
′与
AB
交于?/p>
E.
则△
BD
?/p>
E
的周长等?/p>
______cm.
10.
?/p>
x
为整?/p>
,3<x<200,
?/p>
x
2
+(x+1)
2
是一个完全平方数
,
则整?/p>
x
的值等?/p>
_____________.