1
几类不同增长的函数模?/p>
【学习目标?/p>
1
.借助信息技术,利用函数图象及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.
2
.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义.
3
.通过本节内容的学习,培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识,感悟到?/p>
实世界中数学无处不在,世界是数学的物化形式,数学是世界的精髓?/p>
【要点梳理?/p>
要点一:几类函数模型的增长差异
一般地,对于指数函?/p>
(
1)
x
y
a
a
?/p>
?/p>
和幂函数
(
0)
y
x
?
?/p>
?/p>
?/p>
,通过探索可以发现,在区间
?/p>
?/p>
0,
上,
无论
?/p>
?/p>
a
大多少,
尽管?/p>
x
的一定范围内?/p>
x
a
会小?/p>
x
?/p>
?/p>
但由?/p>
x
a
的增长快?/p>
x
?/p>
的增长,
因此总存在一?/p>
0
x
,当
0
x
x
?/p>
时,就会?/p>
x
a
?/p>
x
?/p>
.同样地,对于对数函?/p>
log
a
y
x
?/p>
增长得越来越慢,
图象就像是渐渐地?/p>
x
轴平行一样,尽管?/p>
x
的一定范围内?/p>
log
a
x
可能会大?/p>
x
?/p>
,但由于
log
a
x
的增
长慢?/p>
x
?/p>
的增长,因此总存在一?/p>
0
x
,当
0
x
x
?/p>
时,就会?/p>
log
a
x
x
?
?/p>
?/p>
综上所述,在区?/p>
?/p>
?/p>
0,
上,尽管函数
(
1)
x
y
a
a
?/p>
?/p>
?/p>
(
0)
y
x
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
log
(
1)
a
y
x
a
?/p>
?/p>
都是增函
数,但它们的增长速度不同,而且不在同一?/p>
?/p>
档次
?/p>
上,随着
x
的增大,
(
1)
x
y
a
a
?/p>
?/p>
的增长速度越来?/p>
快,
会超过并远远大于
(
0)
y
x
?
?/p>
?/p>
?/p>
的增长速度?/p>
?/p>
log
(
1)
a
y
x
a
?/p>
?/p>
的增长则会越来越慢,
因此总会?
在一?/p>
0
x
,当
0
x
x
?/p>
时,就有
log
.
x
a
x
x
a
?/p>
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?/p>
三类函数模型增长规律的定性描述:
1
.直线上升反映了一次函数(一次项系数大于零)的增长趋势,其增长速度不变(恒为常数)
?/p>
2
.指数爆炸反映了指数函数(底数大?/p>
1
)的增长趋势,其增长速度迅速(越来越快?/p>
?/p>
3
.对数增长反映了对数函数(底数大?/p>
1
)的增长趋势,其增长速度平缓(越来越慢)
?/p>
如图所示:
要点诠释?/p>
当自变量变得很大时,指数函数比一次函数增长得快,一次函数比对数函数增长得快?/p>
要点二:利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模?/p>
若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合,则可在实际问题中建立相应的函数模
型,确定其系数,便得到相应的函数模型,从而完成建模.
常用的函数模型有以下几类?/p>
?/p>
1
)线性增长模型:
(
0)
y
kx
b
k
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
)线性减少模型:
(
0)
y
kx
b
k
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
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?
2
(
0)
y
ax
bx
c
a
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2
(
0)
y
ax
bx
c
a
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?/p>
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