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第七?/p>

 

 

常微分方?/p>

 

 

 

一.变量可分离方程及其推广

 

 

 

 

 

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(注:在微分方程求解中,习惯地把不定积分只求出它的一个原函数,而任?/p>

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二.一阶线性方程及其推?/p>

 

 

 

 

 

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常微分方?/p>

 

 

 

一.变量可分离方程及其推广

 

 

 

 

 

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.变量可分离的方?/p>

 

 

 

 

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再按照一阶线性非齐次方程求解?/p>

 

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第七?/p>

 

 

常微分方?/p>

 

 

 

一.变量可分离方程及其推广

 

 

 

 

 

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.变量可分离的方?/p>

 

 

 

 

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(注:在微分方程求解中,习惯地把不定积分只求出它的一个原函数,而任?/p>

常数另外再加?/p>

 

 

 

 

 

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二.一阶线性方程及其推?/p>

 

 

 

 

 

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.一阶线性非齐次方程

 

 

 

 

 

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再按照一阶线性非齐次方程求解?/p>

 

三、可降阶的高阶微分方?/p>

 

方程类型

 

解法及解的表达式

 

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通解

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?/p>

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n

n

n

n

n

n

C

x

C

x

C

x

C

dx

x

f

y

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?

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1

2

2

1

1

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?

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?

 

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?

y

x

f

y

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,

 

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p

y

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,则

p

y

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,原方程

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p

x

f

p

,

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——一阶方程,设其解为

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1

,

C

x

g

p

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1

,

C

x

g

y

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,则原方程的通解?/p>

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2

1

,

C

dx

C

x

g

y

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?

y

y

f

y

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,

 

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p

y

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,把

p

看作

y

的函数,?/p>

dy

dp

p

dx

dy

dy

dp

dx

dp

y

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?

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y

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y

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的表达式代入原方程,

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p

y

f

p

dy

dp

,

1

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—一阶方程,

 

设其解为

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,

,

1

C

y

g

p

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?

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1

,

C

y

g

dx

dy

,则原方程的通解?/p>

 

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2

1

,

C

x

C

y

g

dy

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高等数学第七章微分方程试题及答案 - 百度文库
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第七?/p>

 

 

常微分方?/p>

 

 

 

一.变量可分离方程及其推广

 

 

 

 

 

1

.变量可分离的方?/p>

 

 

 

 

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1

)方程形式:

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0

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y

Q

y

Q

x

P

dx

dy

 

通解

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?

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?

?/p>

?/p>

?/p>

C

dx

x

P

y

Q

dy

 

 

 

 

 

(注:在微分方程求解中,习惯地把不定积分只求出它的一个原函数,而任?/p>

常数另外再加?/p>

 

 

 

 

 

?/p>

2

)方程形式:

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?/p>

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?/p>

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0

2

2

1

1

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dy

y

N

x

M

dx

y

N

x

M

 

 

 

 

 

通解

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?/p>

?/p>

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?/p>

?/p>

?

C

dy

y

N

y

N

dx

x

M

x

M

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?/p>

?/p>

1

2

2

1

 

 

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?/p>

?/p>

?/p>

0

,

0

1

2

?/p>

?/p>

y

N

x

M

 

 

 

 

 

2

.变量可分离方程的推广形?/p>

 

 

 

 

 

?/p>

1

)齐次方?

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?

?

?/p>

?/p>

?/p>

?/p>

x

y

f

dx

dy

 

 

 

 

 

?

u

x

y

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?/p>

?/p>

?/p>

u

f

dx

du

x

u

dx

dy

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?/p>

 

 

?/p>

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c

x

c

x

dx

u

u

f

du

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?/p>

?/p>

?/p>

?/p>

?

|

|

ln

 

 

 

 

二.一阶线性方程及其推?/p>

 

 

 

 

 

1

.一阶线性齐次方?/p>

 

 

 

 

 

?/p>

?/p>

0

?/p>

?/p>

y

x

P

dx

dy

它也是变量可分离方程?

通解

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?/p>

?/p>

?/p>

?/p>

dx

x

P

Ce

y

?/p>

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c

为任意常数)

 

 

 

 

 

2

.一阶线性非齐次方程

 

 

 

 

 

?/p>

?/p>

?/p>

?/p>

x

Q

y

x

P

dx

dy

?/p>

?/p>

 

用常数变易法可求出通解公式

 

 

 

 

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?/p>

?/p>

?/p>

?/p>

?/p>

?/p>

?/p>

dx

x

P

e

x

C

y

 

代入方程求出

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?/p>

x

C

则得

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?/p>

?/p>

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?/p>

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?/p>

?

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?/p>

?/p>

?/p>

?/p>

?/p>

C

dx

e

x

Q

e

y

dx

x

P

dx

x

P

 

 

 

 

 

 

3

.伯努利方程

 

 

 

 

 

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?/p>

?/p>

?/p>

?/p>

?/p>

1

,

0

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?/p>

?/p>

?/p>

?/p>

y

x

Q

y

x

P

dx

dy

 

 

 

 

 

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?

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?/p>

1

y

z

把原方程化为

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?/p>

?/p>

x

Q

z

x

P

dx

dz

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?/p>

?/p>

?/p>

1

1

 

再按照一阶线?

非齐次方程求解?/p>

 

4

.方程:

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?/p>

?/p>

x

y

P

y

Q

dx

dy

?/p>

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1

可化?/p>

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y

Q

x

y

P

dy

dx

?/p>

?/p>

 

?/p>

y

为自变量?/p>

x

为未知函?/p>

 

 

再按照一阶线性非齐次方程求解?/p>

 

三、可降阶的高阶微分方?/p>

 

方程类型

 

解法及解的表达式

 

?/p>

?

?/p>

?/p>

x

f

y

n

?/p>

 

通解

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?/p>

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n

n

n

n

n

n

C

x

C

x

C

x

C

dx

x

f

y

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?/p>

?/p>

?/p>

?

?/p>

?/p>

?/p>

?/p>

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1

2

2

1

1

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?

?/p>

?/p>

?/p>

?

 

?/p>

?

y

x

f

y

?/p>

?/p>

?/p>

?/p>

,

 

?/p>

p

y

?/p>

?/p>

,则

p

y

?/p>

?/p>

?/p>

?/p>

,原方程

?/p>

 

?/p>

?/p>

p

x

f

p

,

?/p>

?/p>

——一阶方程,设其解为

?/p>

?/p>

1

,

C

x

g

p

?/p>

?/p>

 

?/p>

?/p>

?/p>

1

,

C

x

g

y

?/p>

?/p>

,则原方程的通解?/p>

?/p>

?/p>

?/p>

?/p>

?/p>

2

1

,

C

dx

C

x

g

y

?/p>

 

?/p>

?

y

y

f

y

?/p>

?/p>

?/p>

?/p>

,

 

?/p>

p

y

?/p>

?/p>

,把

p

看作

y

的函数,?/p>

dy

dp

p

dx

dy

dy

dp

dx

dp

y

?/p>

?/p>

?/p>

?

?/p>

?/p>

 

?/p>

y

?/p>

?/p>

y

?/p>

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的表达式代入原方程,

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?/p>

?/p>

p

y

f

p

dy

dp

,

1

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—一阶方程,

 

设其解为

?/p>

?/p>

,

,

1

C

y

g

p

?/p>

?

?/p>

?/p>

1

,

C

y

g

dx

dy

,则原方程的通解?/p>

 

?/p>

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?/p>

?/p>

?/p>

2

1

,

C

x

C

y

g

dy

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