第七?/p>
常微分方?/p>
一.变量可分离方程及其推广
1
.变量可分离的方?/p>
?/p>
1
)方程形式:
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
0
?/p>
?/p>
y
Q
y
Q
x
P
dx
dy
通解
?/p>
?
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
C
dx
x
P
y
Q
dy
(注:在微分方程求解中,习惯地把不定积分只求出它的一个原函数,而任?/p>
常数另外再加?/p>
?/p>
2
)方程形式:
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
0
2
2
1
1
?/p>
?/p>
dy
y
N
x
M
dx
y
N
x
M
通解
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
C
dy
y
N
y
N
dx
x
M
x
M
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
2
2
1
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
0
,
0
1
2
?/p>
?/p>
y
N
x
M
2
.变量可分离方程的推广形?/p>
?/p>
1
)齐次方?
?/p>
?
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
x
y
f
dx
dy
?
u
x
y
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
u
f
dx
du
x
u
dx
dy
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
c
x
c
x
dx
u
u
f
du
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
|
|
ln
二.一阶线性方程及其推?/p>
1
.一阶线性齐次方?/p>
?/p>
?/p>
0
?/p>
?/p>
y
x
P
dx
dy
它也是变量可分离方程?
通解
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
dx
x
P
Ce
y
?/p>
?/p>
c
为任意常数)
2
.一阶线性非齐次方程
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
x
Q
y
x
P
dx
dy
?/p>
?/p>
用常数变易法可求出通解公式
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
dx
x
P
e
x
C
y
代入方程求出
?/p>
?/p>
x
C
则得
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
C
dx
e
x
Q
e
y
dx
x
P
dx
x
P
3
.伯努利方程
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
,
0
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
y
x
Q
y
x
P
dx
dy
?/p>
?
?/p>
?/p>
1
y
z
把原方程化为
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
x
Q
z
x
P
dx
dz
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
1
再按照一阶线?
非齐次方程求解?/p>
4
.方程:
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
x
y
P
y
Q
dx
dy
?/p>
?/p>
1
可化?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
y
Q
x
y
P
dy
dx
?/p>
?/p>
?/p>
y
为自变量?/p>
x
为未知函?/p>
再按照一阶线性非齐次方程求解?/p>
三、可降阶的高阶微分方?/p>
方程类型
解法及解的表达式
?/p>
?
?/p>
?/p>
x
f
y
n
?/p>
通解
?/p>
?/p>
?/p>
n
n
n
n
n
n
C
x
C
x
C
x
C
dx
x
f
y
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
2
2
1
1
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?
y
x
f
y
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,
?/p>
p
y
?/p>
?/p>
,则
p
y
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,原方程
?/p>
?/p>
?/p>
p
x
f
p
,
?/p>
?/p>
——一阶方程,设其解为
?/p>
?/p>
1
,
C
x
g
p
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
1
,
C
x
g
y
?/p>
?/p>
,则原方程的通解?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
1
,
C
dx
C
x
g
y
?/p>
?/p>
?
y
y
f
y
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
,
?/p>
p
y
?/p>
?/p>
,把
p
看作
y
的函数,?/p>
dy
dp
p
dx
dy
dy
dp
dx
dp
y
?/p>
?/p>
?/p>
?
?/p>
?/p>
?/p>
y
?/p>
?/p>
y
?/p>
?/p>
的表达式代入原方程,
?/p>
?/p>
?/p>
p
y
f
p
dy
dp
,
1
?/p>
—一阶方程,
设其解为
?/p>
?/p>
,
,
1
C
y
g
p
?/p>
?
?/p>
?/p>
1
,
C
y
g
dx
dy
,则原方程的通解?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
2
1
,
C
x
C
y
g
dy
?/p>