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1
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排列组合中的分组分配问题(分享)
分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。某些排列组合问题看似非分配?/p>
题,实际上可运用分配问题的方法来解决?/p>
一?/p>
提出分组与分配问题,澄清模糊概念
n
个不同元素按照某些条件分配给
k
个不同得对象,称?/p>
分配问题
,分定向分配和不?/p>
向分配两种问题;?/p>
n
个不同元素按照某些条件分?/p>
k
组,称为
分组问题
.
分组问题有不?/p>
均分组、平均分组?/p>
和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的,
前者组?/p>
组之间只要元素个数相同是不区分的?/p>
而后者即?/p>
2
组元素个数相同,
但因对象不同?/p>
仍然
是可区分?/p>
.
对于后者必须先分组后排列?/p>
二、基本的分组问题
?/p>
1
六本不同的书,分为三组,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法?
(1)
每组两本
.
(2)
一组一本,一组二本,一组三?/p>
.
(3)
一组四本,另外两组各一?/p>
.
分析?/p>
(1)
分组与顺序无关,是组合问题。分组数?/p>
6
2
4
2
2
2
C
C
C
=90(
?/p>
)
,这
90
种分组实
际上重复?/p>
6
次。我们不妨把六本不同的书写上
1
?/p>
2
?/p>
3
?/p>
4
?/p>
5
?/p>
6
六个号码,考察以下?/p>
种分法:
(1
?/p>
2)(3
?/p>
4)(5
?/p>
6)
?/p>
(3
?/p>
4)(1
?/p>
2)(5
?/p>
6)
,由于书是均匀分组的,三组的本数一样,
又与顺序无关?/p>
所以这两种分法是同一种分法?/p>
以上的分组方法实际上加入了组的顺序,
?/p>
此还应取消分组的顺序,即除以组数的全排列?/p>
3
3
A
,所以分法是
2
2
2
6
4
2
3
3
C
C
C
A
=15(
?/p>
)
?/p>
(2)
先分组,方法?/p>
6
1
5
2
3
3
C
C
C
,那么还要不要除?/p>
3
3
A
?我们发现,由于每组的书的本?
是不一样的,因此不会出现相同的分法,即共有
6
1
5
2
3
3
C
C
C
=60(
?/p>
)
分法?/p>
(3)
分组方法?/p>
6
4
2
1
1
1
C
C
C
=30(
?/p>
)
,那么其中有没有重复的分法呢?我们发现,其中两组
的书的本数都是一本,因此这两组有了顺序,而与四本书的那一组,由于书的本数不一样,
不可能重复。所以实际分法是
4
1
1
6
2
1
2
2
C
C
C
A
=15(
?/p>
)
?/p>
通过以上三个小题的分析,我们可以得出分组问题的一般方法?/p>
结论
1
?/p>
一般地?/p>
n
个不同的元素分成
p
组,各组内元素数目分别为
m
1
?/p>
m
2
,…,
m
p
,其?/p>
k
组内元素数目相等,那么分组方法数?
3
2
1
1
1
2
p
p
m
m
m
m
n
n
m
n
m
m
m
k
k
C
C
C
C
A
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>
?/p>