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利率的期限结构模åž?/p>
摘要ï¼?/p>
本文试图用最简练和容易理解的表述,
介绍关于期权定价的鞅方法的一些主要思想ä»?/p>
及基本结论ã€?/p>
稍微涉及到了一些偏微分方程的知识,
但大都比较容易理解ã€?/p>
主要是针对那äº?/p>
并不是专业的研究者,但是仍然对此感兴趣并想了解期权定价理论的读者ã€?/p>
关键词:
期权定价
鞅测åº?/p>
到期(交割)
套期保å€?/p>
未定权益
Black-Scholes
模型把利率假定为一个常量或者确定的函数,对于短期的类股ç¥?/p>
ï¼?/p>
stock-like
)资产,它是一种可以接受的近似。但是,对于利率的衍生物,它却并不是合理
的假设,
因此我们必须解决这个随机利率的问题ã€?/p>
建立利率的期限结构模型有几种不同的方
法,它们可以分为两种:短期利率模型和远期利率模型。这两种方法分别ç”?/p>
Vasicek
ï¼?/p>
1977
ï¼?/p>
å’?/p>
Heath-Jarrow-Morton(1987,1992)
最早提出ã€?/p>
Flesaker
å’?/p>
Hughston
�/p>
1996
年引入了一种新
的方法建立利率的期限结构模型ï¼?/p>
我们将介绍这三种方法ï¼?/p>
其中包括一些著名的模型ï¼?/p>
而且
会对一些利率衍生物的定价问题进行简要讨论。我们省略关于保值的讨论,读者可参阅
Duffie(1996)
ï¼?/p>
p140-141
�/p>
Rogers
�/p>
1997
年提出了关于利率的期限结构和外汇利率的“潜åœ?/p>
方法ï¼?/p>
potential
approach
ï¼?/p>
�/p>
,我们不介绍这个综合性方法,因为它在某种程度上超出了我们
的范围ã€?/p>
1.
债券市场
我们建立一个贯穿始终的坐标横轴
]
,
0
[
T
,考虑在一个完备概率空é—?/p>
)
,
,
(
P
F
�/p>
上的äº?/p>
维布朗运åŠ?/p>
B
,用
t
F
表示
B
的自然域流(
natural filtration
ï¼?/p>
�/p>
我们考虑一个金融市场,
称为债券市场ï¼?/p>
它包括银行的存款和所有可能到期的贴现债券
(
或零息债券
)
。我们称不支付任何股息,以低于交割期面值的价格售出的金融债券为贴现å€?/p>
券。以下我们称在时åˆ?/p>
s
到期的贴现债券ä¸?/p>
s-
债券,它在时åˆ?/p>
t
的价格记ä¸?/p>
)
,
(
s
t
P
,假å®?
)
,
(
s
s
P
等于
1
(也就是一单位的银行存款)
�/p>
当时é—?/p>
s
t
�/p>
时,一ä¸?/p>
s
-
债券的到期收益(或简称收益)定义ä¸?/p>
t
s
s
t
P
s
t
Y
�/p>
�
�/p>
))
,
(
log(
)
,
(
(1)
它是在当前时åˆ?/p>
t
对利率的未来价值的一种测度。在不同的到期时刻得到不同的收益ï¼?/p>
这反映了关于未来利率的市场观念。在时刻
t
上的收益曲线就是
)
,
(
s
t
Y
靠近
s
的轨迹,收益
曲线对于到期时间
t
s
�/p>
的依赖关系,
称为利率的期限结构ã€?/p>
在时åˆ?/p>
t
上的短期价格
)
(
t
r
定义
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)
,
(
lim
,
s
t
Y
t
s
t
s
ï‚?/p>
�/p>
,
当然ï¼?/p>
前提是这个极限存在的话ã€?/p>
以后ï¼?/p>
我们假定
)
(
t
r
对所有的
]
,
0
[
T
t
�/p>
都成立且可测,此外,
ï‚?/p>
�/p>
�
dt
t
r
T
0
)
(
�/p>
如果
)
,
(
s
t
P
关于
s
可微,那么就有另一种关于利率的未来价值的衡量方法叫做远期åˆ?/p>
�/p>
)
,
(
s
t
f
,它的定义如ä¸?/p>